Azione di un gruppo su un insieme
Per quanto ho visto, le dimostrazioni del fatto che un gruppo $G$ è isomorfo ad un sottogruppo di $Sym(S)$, per un opportuno insieme $S$, considerano tutte ben determinati $S$ "in carne ed ossa" (es. $G$ stesso). Esiste una caratterizzazione generale dell'insieme $S$ su cui un arbitrario gruppo $G$ può agire?
Risposte
No, non esiste nessuna caratterizzazione del genere, qualsiasi insieme ammette un'azione per qualsiasi gruppo.
Credo di aver confuso io due concetti diversi: quello di azione di un gruppo $G$ su un insieme $S$ (equivalente all'esistenza di un omomorfismo di $G$ in $Sym(S)$, "sempre possibile" se non ho frainteso la tua risposta) e quello di isomorfismo tra $G$ e un sottogruppo di $Sym(S)$ (che necessita dell'iniettività). La caratterizzazione di $S$ di cui chiedevo è relativa a quest'ultimo: ad esempio, un gruppo infinito non può essere isomorfo ad alcun sottogruppo di $Sym(S)$ per $S$ finito, ecc.
Quindi tu vuoi sapere a che condizioni esiste un insieme \(A\) e una inclusione \(G\hookrightarrow S(A)\)?
Si può fare qualcosa di simile, ricordando che il teorema di Cayley è solamente il lemma di Yoneda per gruppi, e l'iniettività dell'inclusione \(G \to S(G)\) discende dalla piena fedeltà dell'immersione di Yoneda (gli omomorfismi di monoidi sono tutti e soli i funtori tra categorie con un solo oggetto -cioè esattamente tra monoidi- e un tale funtore è pienamente fedele se e solo se tale omomorfismo è iniettivo).
Ora, la proprietà universale di questa costruzione è la seguente: \(PG = [G^\text{op},Set]\), ossia la categoria degli insiemi con una azione destra di \(G\), è la categoria dove tutti i colimiti sono stati liberamente aggiunti a \(G\), il cocompletamento libero di \(G\). Esiste una mappa canonica \(y_G : G\to PG\) che manda \(G\) in sé stesso guardato come $G$-insieme tautologico, con l'azione di moltiplicazione a destra, e questa mappa ha la proprietà per cui ogni funtore \(X : G\to \cal C\), dove \(\cal C\) è una categoria cocompleta, si estende ad una aggiunzione \(\bar X : PG \leftrightarrows \cal C\) (ti invito a trovare a cosa corrisponde il funtore \(\bar X : PG\to \cal C\) considerando che \(X\) ammonta a un oggetto di \(\cal C\) con un'azione sinistra di \(G\)).
Il fatto, ora, che la trasformazione pseudonaturale \(1\to [\,\_\,^\text{op},Set]\) sia pienamente fedele componente per componente, però, non è una proprietà caratteristica del cocompletamento rispetto a tutti i colimiti: è condivisa da tutti i \(\mathbb D\)-Ind-completamenti rispetto a una prescritta classe di diagrammi \(\mathbb D\subseteq \bf Cat\) i cui colimiti aggiungi formalmente in una nuova categoria \(\mathbb{D}\text{-Ind}(G)\) che contiene una copia di \(G\): formalmente, hai un diagramma pseudo-commutativo
dove tutte le frecce sono pienamente fedeli. Nota che l'Ind-completamento libero rispetto a diagrammi di forma \(\mathbb D\) ha una simile proprietà universale: se \(\cal C\) è una categoria \(\mathbb D\)-cocompleta, ogni funtore \(G\to \cal C\) si estende a un funtore \(\mathbb{D}\text{-Ind}(G)\to \cal C\).
Si può fare qualcosa di simile, ricordando che il teorema di Cayley è solamente il lemma di Yoneda per gruppi, e l'iniettività dell'inclusione \(G \to S(G)\) discende dalla piena fedeltà dell'immersione di Yoneda (gli omomorfismi di monoidi sono tutti e soli i funtori tra categorie con un solo oggetto -cioè esattamente tra monoidi- e un tale funtore è pienamente fedele se e solo se tale omomorfismo è iniettivo).
Ora, la proprietà universale di questa costruzione è la seguente: \(PG = [G^\text{op},Set]\), ossia la categoria degli insiemi con una azione destra di \(G\), è la categoria dove tutti i colimiti sono stati liberamente aggiunti a \(G\), il cocompletamento libero di \(G\). Esiste una mappa canonica \(y_G : G\to PG\) che manda \(G\) in sé stesso guardato come $G$-insieme tautologico, con l'azione di moltiplicazione a destra, e questa mappa ha la proprietà per cui ogni funtore \(X : G\to \cal C\), dove \(\cal C\) è una categoria cocompleta, si estende ad una aggiunzione \(\bar X : PG \leftrightarrows \cal C\) (ti invito a trovare a cosa corrisponde il funtore \(\bar X : PG\to \cal C\) considerando che \(X\) ammonta a un oggetto di \(\cal C\) con un'azione sinistra di \(G\)).
Il fatto, ora, che la trasformazione pseudonaturale \(1\to [\,\_\,^\text{op},Set]\) sia pienamente fedele componente per componente, però, non è una proprietà caratteristica del cocompletamento rispetto a tutti i colimiti: è condivisa da tutti i \(\mathbb D\)-Ind-completamenti rispetto a una prescritta classe di diagrammi \(\mathbb D\subseteq \bf Cat\) i cui colimiti aggiungi formalmente in una nuova categoria \(\mathbb{D}\text{-Ind}(G)\) che contiene una copia di \(G\): formalmente, hai un diagramma pseudo-commutativo
[tex]\xymatrix{
&G\ar[dr]^{y_G}\ar[dl]_{y_G^\mathbb{D}}& \\
\mathbb{D}\text{-Ind}(G)\ar[rr]_\iota && PG
}[/tex]
&G\ar[dr]^{y_G}\ar[dl]_{y_G^\mathbb{D}}& \\
\mathbb{D}\text{-Ind}(G)\ar[rr]_\iota && PG
}[/tex]
dove tutte le frecce sono pienamente fedeli. Nota che l'Ind-completamento libero rispetto a diagrammi di forma \(\mathbb D\) ha una simile proprietà universale: se \(\cal C\) è una categoria \(\mathbb D\)-cocompleta, ogni funtore \(G\to \cal C\) si estende a un funtore \(\mathbb{D}\text{-Ind}(G)\to \cal C\).
Capisco perchè i testi base di algebra glissano su questo punto... Proverò a tornare sulla tua risposta tra qualche lustro 
Comuque grazie davvero, anche perchè ne può venire del bene a chi può intenderla (è questo il bello dei forum)
Comuque grazie davvero, anche perchè ne può venire del bene a chi può intenderla (è questo il bello dei forum)
Quello che stai chiedendo secondo me è "qual è la minima cardinalità di un insieme $S$ su cui $G$ può agire in modo fedele?"
Questa cardinalità è stata studiata (almeno per gruppi finiti) da Cheryl Praeger & al, vedi per esempio qui (l'articolo è questo).
Questa cardinalità è stata studiata (almeno per gruppi finiti) da Cheryl Praeger & al, vedi per esempio qui (l'articolo è questo).
Se, come mi sembra di capire, fedeltà e iniettività sono parenti stretti (il primo è un concetto che ancora non ho), allora direi che hai perfettamente estrinsecato la mia domanda originaria, di cui probabilmente non ero neppure del tutto consapevole 
. Proverò volentieri e vedere i link forniti.
Grazie
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