Azione di un gruppo su un insieme
Ciao a tutti ragazzi, buon 2015 
Ho un dubbio che vorrei mi aiutaste a risolvere, stavo riguardando più approfonditamente le azioni di gruppo e mi sono ricordato di un dubbio, probabilmente banale, che però non riesco a risolvere, ora ve lo pongo:
Data la definizione di ''Azione di un gruppo $ G $ su un insieme $ X $ allora vale una specie di N.B. sul libro su cui sto studiando ovvero che ogni $ g in G $ determina una corrispondenza biunivoca $ varphi _g $ di $ X $ in sè data da $ varphi _(g)(x) = g ** x $ la cui inversa è la $ varphi_(g^-1) $
Il mio dubbio è proprio sul fatto che sia una corrispondenza biunivoca!
Riflettendoci su si deduce in maniera ovvia che per l'unità il discorso è banalmente vero grazie al primo assioma di azione di gruppo. Il problema è che intuitivamente non riesco a capire perchè la corrispondenza non è biunivoca, non potrebbe ad esempio essere che dato un $ g_1 in G $ e $ x_0 , y_0 in X $ allora $ varphi_(g_1)(x_0)=g_1 ** x_0 =g_1 ** y_0= varphi_(g_1)(y_0) $ ?
Spero mi aiuterete su questo dubbio sicuramente banale ahahahaha, grazie mille ragazzi, a presto
Ho un dubbio che vorrei mi aiutaste a risolvere, stavo riguardando più approfonditamente le azioni di gruppo e mi sono ricordato di un dubbio, probabilmente banale, che però non riesco a risolvere, ora ve lo pongo:
Data la definizione di ''Azione di un gruppo $ G $ su un insieme $ X $ allora vale una specie di N.B. sul libro su cui sto studiando ovvero che ogni $ g in G $ determina una corrispondenza biunivoca $ varphi _g $ di $ X $ in sè data da $ varphi _(g)(x) = g ** x $ la cui inversa è la $ varphi_(g^-1) $
Il mio dubbio è proprio sul fatto che sia una corrispondenza biunivoca!
Riflettendoci su si deduce in maniera ovvia che per l'unità il discorso è banalmente vero grazie al primo assioma di azione di gruppo. Il problema è che intuitivamente non riesco a capire perchè la corrispondenza non è biunivoca, non potrebbe ad esempio essere che dato un $ g_1 in G $ e $ x_0 , y_0 in X $ allora $ varphi_(g_1)(x_0)=g_1 ** x_0 =g_1 ** y_0= varphi_(g_1)(y_0) $ ?
Spero mi aiuterete su questo dubbio sicuramente banale ahahahaha, grazie mille ragazzi, a presto
Risposte
Ciao TooL! Bel nick 
"TooL":Ehm... eh?
Data la definizione di ''Azione di un gruppo $ G $ su un insieme $ X $ allora vale una specie di N.B. sul libro su cui sto studiando
"TooL":Ci sono più modi per definire l'azione di un gruppo su *qualcosa* (insiemi, altri gruppi, spazi topologici, anelli...). Tu che definizione hai?
Il mio dubbio è proprio sul fatto che sia una corrispondenza biunivoca!
Quale definizione di azione di gruppo dà il tuo libro?
Una possibile definizione, che risponde immediatamente alla tua domanda, è la seguente:
Sia $ G $ un gruppo e $ A $ un insieme, $ S(A) $ l'insieme delle permutazioni di $A$ .
Dato un qualunque omomorfismo $ rho: G rarr S(A) $ , definiamo azione del gruppo $G$ su $A$ l'applicazione:
Per semplicità si usa scrivere sempre $gx$ in luogo di $rho(g)(x)$
Qualunque definizione di azione tu abbia si può ovviamente dimostrare equivalente a questa, (credo) chiarendo definitivamente i tuoi dubbi.
Una possibile definizione, che risponde immediatamente alla tua domanda, è la seguente:
Sia $ G $ un gruppo e $ A $ un insieme, $ S(A) $ l'insieme delle permutazioni di $A$ .
Dato un qualunque omomorfismo $ rho: G rarr S(A) $ , definiamo azione del gruppo $G$ su $A$ l'applicazione:
$sigma: G xx A rarr A$ t.c. $ sigma( (g,x) ) = rho(g) (x) $
Per semplicità si usa scrivere sempre $gx$ in luogo di $rho(g)(x)$
Qualunque definizione di azione tu abbia si può ovviamente dimostrare equivalente a questa, (credo) chiarendo definitivamente i tuoi dubbi.
Ahahahaha sono stato un po' troppo vago giusto? Comunque la definizione di azione di gruppo che ho sul mio libro è la seguente:
Dati $ G $ gruppo e $ X $ insieme, allora si dice che $ G $ agisce su $ X $ tramite l'applicazione $ ** : G xx X -> X $ se valgono le seguenti proprietà :
$ i) e ** x = x $
$ ii) (g_1 g_2) ** x = g_1** (g_2** x) $
Questo $ forall x in X $ , $ forall g_1, g_2 in G $
Dati $ G $ gruppo e $ X $ insieme, allora si dice che $ G $ agisce su $ X $ tramite l'applicazione $ ** : G xx X -> X $ se valgono le seguenti proprietà :
$ i) e ** x = x $
$ ii) (g_1 g_2) ** x = g_1** (g_2** x) $
Questo $ forall x in X $ , $ forall g_1, g_2 in G $
Riscrivo semplicemente le tue due proprietà perché quella stella mi sta un po' sulle palle e rende le cose poco chiare:
Dato $G$ e $X$ , $G$ agisce su $X$ tramite $sigma: G xx X rarr X $ se valgono:
i) $ sigma( e, x)= x$
ii) $ sigma (g_1 \cdot g_2, x )= sigma(g_1, sigma(g_2,x)) $
Chiamo $ X^X $ l'insieme delle funzioni da X a X e definisco una funzione $rho:G rarr X^X $ in questo modo:
Nota che, una volta fissato un $g$, $sigma(bar(g),x)$ è proprio una funzione da $X$ a $X$ .
Vediamo che $rho$ rispetta la condizione di omomorfismo:
$rho ( g_1 \cdot g_2) = sigma(g_1 \cdot g_2 , x )= sigma( g_1, sigma(g_2, x))= sigma( g_1, rho(g_2))= rho(g_1) rho(g_2) $
Questo ci dice che $ rho(g) = sigma(g,x) $ è sempre biettiva visto che dati $x_1$ , $x_2$ se $rho(g)(x_1)=rho(g)(x_2)$ allora $rho(g^-1)rho(g)(x_1)= x_1=x_2= rho(g^-1)rho(g)(x_2) $, inoltre dato $y$ posso sempre trovare un $x$ tale che $ y= rho(g)(x)$ prendendo $x=rho(g^-1)(y) $.
Dato $G$ e $X$ , $G$ agisce su $X$ tramite $sigma: G xx X rarr X $ se valgono:
i) $ sigma( e, x)= x$
ii) $ sigma (g_1 \cdot g_2, x )= sigma(g_1, sigma(g_2,x)) $
Chiamo $ X^X $ l'insieme delle funzioni da X a X e definisco una funzione $rho:G rarr X^X $ in questo modo:
$rho ( g ) = g(x) = sigma(g,x) $
Nota che, una volta fissato un $g$, $sigma(bar(g),x)$ è proprio una funzione da $X$ a $X$ .
Vediamo che $rho$ rispetta la condizione di omomorfismo:
$rho ( g_1 \cdot g_2) = sigma(g_1 \cdot g_2 , x )= sigma( g_1, sigma(g_2, x))= sigma( g_1, rho(g_2))= rho(g_1) rho(g_2) $
Questo ci dice che $ rho(g) = sigma(g,x) $ è sempre biettiva visto che dati $x_1$ , $x_2$ se $rho(g)(x_1)=rho(g)(x_2)$ allora $rho(g^-1)rho(g)(x_1)= x_1=x_2= rho(g^-1)rho(g)(x_2) $, inoltre dato $y$ posso sempre trovare un $x$ tale che $ y= rho(g)(x)$ prendendo $x=rho(g^-1)(y) $.
Grazie mille FE sei stato chiarissimo, quello che mi era sfuggito era proprio il passaggio esplicato da te qui, adesso ho collegato finalmente le due definizioni (quella del mio libro e quella data da te) e ho mandato a cagare la stellina ahahahaha
Grazie ancora, buona serata
Grazie ancora, buona serata
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