Azione di $S_2$ su $\{1,2,3,4,5\}$

[luca691]

Sia $G$ un gruppo di ordine $2$ che agisce su un insieme $S$ di $5$ elementi. Le orbite di questa azione sono composte da $1$ o $2$ elementi, rispettivamente per stabilizzatori di ordine $2$ o ordine $1$ (Teorema Orbita-Stabilizzatore). Poiché le orbite costituiscono una partizione dell'insieme $S$, questo basta per concludere che l'azione deve avere almeno $3$ orbite.

Ammesso di avere capito correttamente fino a qui, non riesco invece a capire il caso concreto $G=S_2$ e $S=\{1,2,3,4,5\}$: come possono permutazioni su $2$ elementi agire come permutazioni su $5$ elementi? Ad esempio, l'orbita di $4$ dell'azione è l'insieme $O(4)=\{j \in S | j=\sigma(4), \sigma \in S_2}$, ma "per me" gli elementi di $S_2$ sono definiti su $\{1,2\}$ e quindi non so cosa "$\sigma(4)$" sia.

Temo che questo dubbio sia il segnale di qualche incomprensione di base sulle azioni (se non più a monte).

Grazie

[Studente Anonimo]

Un'azione di un gruppo $G$ su un insieme $X$ non è altro che un omomorfismo $phi: G to Sym(X)$ dove $Sym(X)$ è il gruppo simmetrico di $X$, cioè il gruppo delle funzioni biiettive $X to X$ con l'operazione data dalla usuale composizione. L'elemento $g$ agisce sull'elemento $x$ inviandolo in $phi(g)(x)$.

Nel tuo caso hai $G=S_2={1,x}$ dove $x=(12)$, ma non aiuta pensarlo come un gruppo dotato di una "azione sua" (quella naturale) perché adesso stai guardando ad altre possibili azioni.

Un'azione di $S_2$ su ${1,2,3,4,5}$ corrisponde a un omomorfismo $S_2 to S_5$. Capirai che di omomorfismi $S_2 to S_5$ ce ne sono moltissimi. Per esempio c'è quello banale, $1 to 1$, $x to 1$, questa è l'azione banale, cioè tutti gli elementi agiscono come l'identità. L'azione a cui stai pensando tu è quella "naturale", $1 to 1$, $x to (12)$, ma ce ne sono moltissime altre.

Per esempio $S_2 to S_5$, $1 to 1$, $x to (23)(45)$ è un omomorfismo. Questo corrisponde all'azione di $S_2$ su $X={1,2,3,4,5}$ data dal fatto che $1$ agisce come l'identità (come deve essere) e $x$ agisce fissando $1$ e scambiando tra loro $2$ e $3$ e scambiando tra loro $4$ e $5$.

Inoltre se $y$ è un qualsiasi elemento di $S_5$ di ordine $2$ allora $S_2 to S_5$, $1 to 1$, $x to y$ è un omomorfismo, e quindi corrisponde ad un'azione di $S_2$ su ${1,2,3,4,5}$.

[luca691]

Grazie Martino. Provo ad elaborare un po' per vedere se ho capito.

Con le notazioni in spoiler:
$$O(s)=\{gs, g \in G\}=\{\varphi_g(s), g \in G\}=\{s\} \cup \{\varphi_g(s), g \in G\setminus\{e\}\} \tag 1$$
Nel nostro caso ($G=S_2$ e $Sym(S)=S_5$), gli omomorfismi di $S_2$ in $S_5$ sono tutte e sole le applicazioni $\varphi$ tali che $\varphi_{\iota_{S_2}}=\iota_{S_5}$ e $\varphi_{(12)}$ è un elemento di $S_5$ di ordine $2$.[nota]Infatti:
-)$\varphi_{\iota_{S_2}\iota_{S_2}}=\varphi_{\iota_{S_2}}=\iota_{S_5}=\iota_{S_5}\iota_{S_5}=\varphi_{\iota_{S_2}}\varphi_{\iota_{S_2}}$
-) $\varphi_{\iota_{S_2}(12)}=\varphi_{(12)}=\iota_{S_5}\varphi_{(12)}=\varphi_{\iota_{S_2}}\varphi_{(12)}$
-) $\varphi_{(12)(12)}=\varphi_{\iota_{S_2}}=\iota_{S_5}=(\varphi_{(12)})^2=\varphi_{(12)}\varphi_{(12)}$
e $\varphi$ è omomorfismo.[/nota] Quindi, specializzando $(1)$:

$$O(i)=\{i\} \cup \{\varphi_{(12)}(i)\}, \quad i=1,2,3,4,5$$
e l'orbita "per $i$" di una specifica azione di $S_2$ su $\{1,2,3,4,5\}$ avrà $1$ o $2$ elementi in funzione del fatto che $\varphi_{(12)}(i)=i$ o $\varphi_{(12)}(i) \ne i$, rispettivamente. L'azione "naturale" (che avevo implicitamente in mente) è quella che manda $(12)$ di $S_2$ in $(12)$ di $S_5$, e ha quindi un'orbita con $2$ elementi ($\{1,2\}$) e $3$ orbite con un solo elemento ($\{3\}$, $\{4\}$, $\{5\}$).

Un'azione di $G$ su $S$ è una funzione:
\begin{alignat*}{1}
A:G\times S&\longrightarrow&S\\
(g,s)&\longmapsto&gs
\end{alignat*}
tale che

i) $es=s, forall s \in S$;
ii) $g(hs)=(gh)s, \forall g,h \in G, \forall s \in S$.

Ora, definisco:
\begin{alignat*}{2}
\varphi:G&\longrightarrow& \operatorname{Sym}(S)\\
g&\longmapsto& \varphi_g:S &\longrightarrow S \\
&&s&\longmapsto \varphi_g(s):=gs
\end{alignat*}

La funzione $\varphi_g$ è effettivamente una biiezione su $S$; infatti:

a) $\varphi_{g}(s)=\varphi_{g}(t) \Rightarrow gs=g t \Rightarrow$ (l'azione è una funzione e $G$ è gruppo) $g^{-1}(gs)=g^{-1}(g t) \Rightarrow$ (per ii)) $(g^{-1}g)s=(g^{-1}g)t \Rightarrow es=et \Rightarrow$ (per i)) $s=t$: $\varphi_g$ è iniettiva;
b) per ii) e i), $\forall s \in S, s=\varphi_{g}(g^{-1}s)$: $\varphi_g$ è suriettiva.

Infine, $\varphi_{gh}(s)=(gh)s=$ (per ii)) $g(hs)=\varphi_{g}(\varphi_{h}(s))=(\varphi_{g}\varphi_{h})(s), forall s \in S \Rightarrow \varphi_{gh}=\varphi_{g}\varphi_{h}$, e quindi $\varphi$ è omomorfismo di gruppi.

Così come, data un'azione $A$ di $G$ su $S$, $\varphi_{g}(s):=A(g,s)$ definisce un omomorfismo di $G$ in $Sym(S)$, dato un omomorfismo $\varphi$ di $G$ in $Sym(S)$, $A(g,s):=\varphi_{g}(s)$ definisce un'azione di $G$ su $S$.

[Alin2]

$ O(i)= e $Mi interessa molto l'argomento è colgo l'occasione per concretizzare qualcosa:

specializzando (1):

$O(i)={i}∪{φ(12)(i)},i=1,2,3,4,5$

l'orbita "per $i$" di una specifica azione di $S_2 $su ${1,2,3,4,5}$ avrà $1$ o $2$ elementi in funzione del fatto che $φ(12)(i)=i$ o$ φ(12)(i)≠i$, rispettivamente.

Ora se io definisco $φ:G⟼Sym(S):$ come per esempio $S2→S5$, $1→1$, $x→(23)(45)$
dove $1= e $ e $x$ é la permutazione $(1,2)$ allora
l'orbita di $i=1$ ha un solo elemento. $O(1)= 1 $ e $φ(12)(1)=1$ 
Dico bene? Grazie

[luca691]

Sì, secondo me dici bene. A questo punto, vale la pena trovare le orbite anche degli altri $i$, e vedere cosa cambia tra queste e quelle che abbiamo con l'altro omomorfismo di $S_2$ in $S_5$, già trattato sopra.

[Alin2]

Secondo l'azione di questo omomorfismo
$φ:G⟼Sym(S)$: definito da $S_2→S_5$, $1→1$, $x→(23)(45)$ dovremmo avere:

$O(1)={1}$

$O(2)={2,3}$ =$O(3)={3,2}$

$O(4)={4,5}$= $O(5)={5,4}$
Qual é l'altro omomorfismo a cui ti riferisci?

Se $y$ è un qualsiasi elemento di $S_5$ di ordine $2 $allora $S_2→S_5,$ $1→1$, $x→y$ è un omomorfismo, e quindi corrisponde ad un'azione di $S_2$ su ${1,2,3,4,5}$.
Di questi ćè ne dovrebbero essere 25 includendo quello appena visto.
Poi c'é quello banale e
quello naturale di cui $O(1)=O(2)={1,2}$ mentre $O(3)=3$, $O(4)=4$, $O(5)=5 $ costituiti da un solo elemento perché questi elementi vengono fissati.

[luca691]

OK.

Mi riferivo a quello "naturale", $\varphi((12))=(12) \in S_5$, che avevo mostrato nel mio post più sopra. Era solo per vedere due differenti casi concreti dello stesso risultato generale dal Teorema Orbita-Stabilizzatore, ovvero che in tutti questi casi (gruppo di ordine $2$ e insieme di cardinalità $5$) il numero delle orbite deve essere almeno $3$ (non a caso $3$ e $4$ nei due esempi considerati).

Ciao

[Studente Anonimo]

Sì, ci sono almeno 3 orbite, e ci sono esattamente $26$ omomorfismi $S_2 \ to S_5$ (incluso quello banale).

[Alin2]

Ho un dubbio:
partendo da
$φ_(gh)(s)=(gh)s=  g(hs)=φ_g φ_h(s)=(φ_gφ_h)(s)$,
$∀s∈S={1,2,3,4,5}$,$∀g,h∈S_2 ⇒φ_(gh)=φ_gφ_h$, $φ$ è omomorfismo di gruppi.
nello specifico, ponendo per esempio, $s=2$ si verifica che
$φ : S_2→S_5,g=i _(S_2)→ φ_i =i_(S_5), (12)→ φ(12)= ((23)(45))_(S_5)$ é un omomorfismo.

Ma sei io avessi definito per esempio
$φ:G⟼Sym(S)$: come  $S2→S5, 1→1, x→(243)$ o altri ancora, avrei trovato
altri omomorfismi. Dico bene? Grazie

[Studente Anonimo]

"Alin":Ma sei io avessi definito per esempio
$φ:G⟼Sym(S)$: come  $S2→S5, 1→1, x→(243)$ o altri ancora, avrei trovato
altri omomorfismi. Dico bene? Grazie

No perché vale il seguente fatto in generale (dimostrarlo è un facile esercizio):

Se $f:A to B$ è omomorfismo di gruppi finiti allora l'ordine di $f(a)$ divide l'ordine di $a$ per ogni $a in A$.

Inoltre se $f$ è iniettivo allora l'ordine di $f(a)$ è uguale all'ordine di $a$ per ogni $a in A$.

[luca691]

No, perché in questo caso $\varphi((12)^2)=\varphi(\iota_{S_2})=\iota_{S_5} \ne \varphi((12))\varphi((12))=(243)$: questa applicazione da $S_2$ in $S_5$ non è tra i 26 omomorfismi del primo nel secondo gruppo.

[Alin2]

Grazie Martino!
Infatti
Supponiamo che $|a| = n$. Allora, $a^n = e$ e dal momento che l'omomofismo preserva i prodotti, é anche vero che
$f(a^n) = e = (f(a))^n$. Quindi $f(a)^n = e$, $|f(a)| | n = |a|$.