Azione di gruppo: Help!
Vi posto un esercizio perchè vorrei capire se il mio ragionamento è corretto:
Sia G un gruppo ed H un suo sottogruppo. Sia inoltre . : HxX $\rightarrow$ X una azione di H sull'insieme X. Si definisca allora la funzione *: GxX $\rightarrow$ X ponendo g*x={(g.x, if g $in$ H),(x, altrimenti)} (scusate ma non riesco a scrivere il sistema.
Provare che se l'azione di H è diversa da quella banale allora * non definisce una azione di G su X.
Ho ragionato come segue:
Voglio provare che se h.x $!=$ x allora * non è azione.
Considero h in H tale che h*x=h.x$!=$x per ogni h in H e x in X.
Devo provare che sono soddisfatte le due relazioni di azione.
1. siano g,h in H e x in X: (gh)*x=gh.x=g(h.x)=g(h*x)=g*(h*x)
2. 1*x=1.x=x ma allora per definizione di * ho che 1$notin$H e questo è assurdo visto che H è sottogruppo di G.
Quindi posso concludere che * non definisce una azione di G su X se l'azione di H è diversa da quella banale.
Sia G un gruppo ed H un suo sottogruppo. Sia inoltre . : HxX $\rightarrow$ X una azione di H sull'insieme X. Si definisca allora la funzione *: GxX $\rightarrow$ X ponendo g*x={(g.x, if g $in$ H),(x, altrimenti)} (scusate ma non riesco a scrivere il sistema.
Provare che se l'azione di H è diversa da quella banale allora * non definisce una azione di G su X.
Ho ragionato come segue:
Voglio provare che se h.x $!=$ x allora * non è azione.
Considero h in H tale che h*x=h.x$!=$x per ogni h in H e x in X.
Devo provare che sono soddisfatte le due relazioni di azione.
1. siano g,h in H e x in X: (gh)*x=gh.x=g(h.x)=g(h*x)=g*(h*x)
2. 1*x=1.x=x ma allora per definizione di * ho che 1$notin$H e questo è assurdo visto che H è sottogruppo di G.
Quindi posso concludere che * non definisce una azione di G su X se l'azione di H è diversa da quella banale.
Risposte
Cerca di usare una formattazione del testo un pochino piu' leggibile.
Comunque l'argomento non funziona. Stai supponendo che per ogni $h \in H$ e per ogni $x \in X$ l'elemento $hx$ non sia $x$. Questo non e' nelle ipotesi e non e' neanche vero in generale, in quanto, ad esempio, $1$ agisce sempre banalmente.
L'ipotesi ti dice di supporre che l'azione di $H$ non e' banale, cioe', che esiste almeno un $h$ che non agisce banalmente, cioe' che esistono almeno un $h$ e un $x$ tale che $hx \ne x$.
Hint: Prendi $h$ che non agisce banalmente e prova a scriverlo come il prodotto di due elementi che non appartengono ad $H$.
Comunque l'argomento non funziona. Stai supponendo che per ogni $h \in H$ e per ogni $x \in X$ l'elemento $hx$ non sia $x$. Questo non e' nelle ipotesi e non e' neanche vero in generale, in quanto, ad esempio, $1$ agisce sempre banalmente.
L'ipotesi ti dice di supporre che l'azione di $H$ non e' banale, cioe', che esiste almeno un $h$ che non agisce banalmente, cioe' che esistono almeno un $h$ e un $x$ tale che $hx \ne x$.
Hint: Prendi $h$ che non agisce banalmente e prova a scriverlo come il prodotto di due elementi che non appartengono ad $H$.
Vediamo se mi è tutto chiaro:
considero un h in H la cui azione sia non banale quindi hx≠x.
A questo punto suppongo che ci siano due elementi f e g in G non appartenenti ad h tali che h=fg.
Poichè f non appartiene ad H, sotto l'azione di g ottengo f*x=x, analogamente per g ottengo f*x=x.
Osservo: h*x=fg*x=f(g*x)=f*x=x contro l'ipotesi che hx≠x.
Giusto?
considero un h in H la cui azione sia non banale quindi hx≠x.
A questo punto suppongo che ci siano due elementi f e g in G non appartenenti ad h tali che h=fg.
Poichè f non appartiene ad H, sotto l'azione di g ottengo f*x=x, analogamente per g ottengo f*x=x.
Osservo: h*x=fg*x=f(g*x)=f*x=x contro l'ipotesi che hx≠x.
Giusto?
Esatto...devi dimostrare che quei due elementi $f,g$ esistono. Ad esempio, che succede se moltiplichi $h$ per un elemento $g$ di $G$ che non sta in $H$?
Come provo che esistono questi due elementi?
Se moltiplico h per un elemento g di G che non sta in H osservo:
hg*x=h*x=hx gh*x=g*hx=hx
Però come concludo che f e g esistono?
Comunque grazie davvero per la disponibilità!
Se moltiplico h per un elemento g di G che non sta in H osservo:
hg*x=h*x=hx gh*x=g*hx=hx
Però come concludo che f e g esistono?
Comunque grazie davvero per la disponibilità!
Prendiamo $h \in H$ e $g \notin H$. Quale e' quell'elemento $f$ che moltiplicato per $g$ (ad esempio a destra) da' come risultato $h$? Una volta che abbiamo costruito questo elemento $f$, come possiamo osservare che non e' un elemento di $H$?
Provo a vedere di nuovo se mi è chiaro il ragionamento:
Dato che g∉H anche il suo inverso j non sta in H (poichè H è sottogruppo quindi contiene l'inverso di ogni elemento).
Allora, forse, posso costruire f ponendo: f=hj e per la chiusura di H posso dire che f non appartiene ad H perchè prodotto di un elemento di H e di uno non appartenente ad esso. A questo punto ho definito i due elementi f e g e mi ricollego al discorso iniziale (quello subito dopo la tua correzione).
Giusto?
Dato che g∉H anche il suo inverso j non sta in H (poichè H è sottogruppo quindi contiene l'inverso di ogni elemento).
Allora, forse, posso costruire f ponendo: f=hj e per la chiusura di H posso dire che f non appartiene ad H perchè prodotto di un elemento di H e di uno non appartenente ad esso. A questo punto ho definito i due elementi f e g e mi ricollego al discorso iniziale (quello subito dopo la tua correzione).
Giusto?
Esattamente. Se $g \notin H$, si ha comunque $h =h g^{-1}g $ e l'elemento $f = g^{-1} h$ non puo' appartenere ad $H$ in quanto, se vi appartenesse si avrebbe $g = hf^{-1}$ ottenendo $g \in H$ che e' in contradizione con l'assunto iniziale.
Perfetto! Grazie mille dell'aiuto! Sei stato gentilissimo.
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