Azione di gruppo

[nRT]

Ciao a tutti,
ho trovato che

Il gruppo $GL(V)$ degli endomorfismi lineari invertibili di uno spazio vettoriale $V$ agisce sull'insieme $V$. Se $V$ ha anche una struttura euclidea, il gruppo $O(V)$ delle trasformazioni ortogonali agisce sulla sfera unitaria di $V$.

Il mio dubbio riguarda la seconda parte: non capisco perché il gruppo $O(V)$ che contiene tutte le trasformazioni ortogonali agisce soltanto sull'insieme $X = {x \in V | \norm{x} = 1} $. Non potrebbe agire su tutto $V$? Il mio ragionamento è stato: prendo una matrice ortogonale $M$ e la moltiplico per un vettore $\vec{v}$ che abbia norma qualsiasi. Il risultato è un vettore in $V$. Dove sbaglio?
Per verificare la prima parte, ho pensato a
\[ GL(V) \times V \rightarrow V \\
(M, \vec{v} ) \mapsto Mv \\
\] \[
I \vec{v} = \vec{v} \quad \forall \vec{v} \in V \\
\] \[
\forall M_1, M_2 \in GL(V) \quad \forall \vec{v} \in V \\
(M_1 M_2 ) \cdot \vec{v} = M_1 \cdot (M_2 \cdot \vec{v}) \\
(M_1 M_2) \vec{v} = M_1 (M_2 \vec{v}) \\
\]
Grazie in anticipo

[Martino]

Non sbagli, quello che si sta osservando nel testo è che, a differenza di $O(V)$, il gruppo $GL(V)$ non agisce sulla sfera unitaria (intendo dire che l'azione naturale non si restringe alla sfera unitaria).

[nRT]

Grazie Martino della risposta,
per verificare di aver capito: con "azione naturale" su $O(V)$ quindi si intende che è sufficiente lavorare con i vettori di norma 1 per vedere come una base viene trasformata?

[Martino]

No, intendo dire che se un vettore $v in V$ ha norma $1$ e $A$ è una matrice invertibile, allora $Av$ non necessariamente ha norma $1$, tuttavia se $A in O(V)$ allora $Av$ ha norma $1$.

[nRT]

OK, grazie. Mi era sfuggita questa interpretazione. Non mi è chiaro però come possa essere definita $GL(V) \times V \rightarrow V$ dal momento che il dominio comprenderebbe tutte le coppie $(g, \vec{v})$ con tutti i vettori con qualsiasi norma. Ma forse è tutto come hai detto ed era un modo stringato di fare intendere il concetto.
Grazie ancora

[megas_archon]

GL agisce su tutto; questa azione si restringe a una azione del gruppo ortogonale; questa restrizione preseva la lunghezza dei vettori, perciò fattorizza lungo l'inclusione della palla di norma 1. In parove povere, l'azione è su tutto lo spazio, ma la palla è (globalmente) invariante per essa.

[luca691]

"megas_archon":ma la palla è (globalmente) invariante per essa.

C'entra con il concetto dei punti dell'insieme "agito" fissati da tutti gli elementi del gruppo "agente"?

[megas_archon]

Beh, sì, è la solita nozione di sottoinsieme invariante rispetto a un'azione.

[luca691]

"complesso":Non mi è chiaro però come possa essere definita $GL(V) \times V \rightarrow V$ dal momento che il dominio comprenderebbe tutte le coppie $(g, \vec{v})$ con tutti i vettori con qualsiasi norma.

Appunto per questo il condominio dovere essere tutto $V$, come condizione necessaria perché sia un'azione ("buona definizione"; poi vanno verificati i due assiomi). La restrizione di questa azione al sottogruppo $O(n)$ induce un'azione "più mirata", sul sottoinsieme di $V$ rappresentato dalla sfera unitaria.

[nRT]

OK, grazie a tutti. Quindi l'azione da $GL(V)$ non può essere ristretta alla sfera unitaria, mentre quella da $O(V)$ sì.