Ax=b

[kobeilprofeta]

Data un'equazione $ax+b=0$ su $RR $, dimostrare che ha una ed una sola soluzione $x=-b/a $

Non mi ricordo come si fa e su google non trovo niente

Grazie

[G.D.5]

Data l'equazione \( ax + b = 0 \) in \( \mathbb{R} \) con \( a \neq 0 \), supponiamo per assurdo che esistano due soluzioni \( \alpha \) e \( \beta \) con \( \alpha \neq \beta \). Allora si avrebbe \( a\alpha + b = 0 \) e \( a\beta + b = 0 \); per la transitività dell'uguaglianza, si avrebbe allora \( a\alpha + b = a\beta + b \); per la regola di semplificazione rispetto alla somma, allora si avrebbe \( a\alpha = a\beta \); per la regola di semplificazione rispetto al prodotto (essendo \( a \neq 0 \)), si avrebbe infine \( \alpha = \beta \), contro quanto inizialmente supposto. Quindi la soluzione è unica.

[kobeilprofeta]

grazie

ne approfitto della gentilezza per aver chiare le tre "regole" che hai usato

transitività dell'uguaglianza: ovvia

regole di cancellazione: perchè $RR$ è gruppo con entrambe le operazioni?

[G.D.5]

Che in un gruppo valgano le proprietà di cancellazione (destra e sinistra) è vero. Tuttavia le proprietà di cancellazione possono valere anche in strutture che non siano gruppi: e.g. \( ( \mathbb{N}, + ) \) è un semigruppo in cui vale la regola di cancellazione; la proprietà di cancellazione si prova in tal caso grazie all'induzione e all'associatività dell'addizione. Essendo \( ( \mathbb{N}, + ) \) un semigruppo cancellativo, la proprietà di cancellazione si può poi estendere nel modo opportuno alla moltiplicazione.

[kobeilprofeta]

un'utlima cosa veloce: riesci a linkarmi qualcosa dove viene fatto vedere che in $RR$ valgono le proprietà di cancellazione?

[G.D.5]

Puoi dare un'occhiata qui.

[kobeilprofeta]

"G.D.":Puoi dare un'occhiata qui.

grazie

[G.D.5]

Prego.

[kobeilprofeta]

comunque sostanzialmente vengono presi come assiomi l'esistenza ed unicità del neutro per entrambe le operazioni; e da lì si dimostra che vale la cancellazione...

[G.D.5]

L'unicità degli elementi neutri si dimostra: la tecnica è la stessa con cui si dimostra che, in generale, in un dato gruppo l'elemento neutro è unico. Aggiungere questo fatto tra gli assiomi farebbe dunque risultare ridondante il sistema di assiomi con cui si presenta \( \mathbb{R} \).

[kobeilprofeta]

Sì scusa
intendevo solo l'esistenza come assioma
l'unicità si fa più o meno così se non sbaglio

Siano a,b due elementi neutri
Vale $ax=xa=x AA x in RR $ e lo stesso per $b$.
Ma allora $ab $ è uguale ad $a $ (vedendo b come neutro) e a $b $ (vedendo a come neutro).
In conclusione $a=b $.

[G.D.5]

[kobeilprofeta]

Grazie di tutto

[G.D.5]

Prego.