Autovalori & autovettori
Ciao ragazzi, Buona Vigilia a tutti 
Sto facendo qualche esercizio su autovalori ed autovettori.. faccio errori in qualche passaggio..
$((1,2,1),(0,2,0),(1,-2,-1))$
Allora il metodo che uso, e che ho imparato per determinare gli autovalori è:
DET DELLA MATRICE - $\Lambda$ IDENTITA' = 0
-->> $((1,2,1),(0,2,0),(1,-2,-1))$ - $((\Lambda,0,0),(0, \Lambda, 0),(0,0, \Lambda))$
QUINDI $((1- \Lambda,2,1),(0, 2-\Lambda, 0),(1,-2, 1-\Lambda))$
POI HO CALCOLATO IL DETERMINANTE CON REGOLA DI SARRUS
$(1- \Lambda)$ $(2- \Lambda)$ $-(2- \Lambda)$
HO MESSO IN EVIDENZA E HO TROVATO LE RADICI
$\lambda$ =1
$\lambda$ =2
$\lambda$ =2
DA QUI POI HO PROVATO A CALCOLARE L'AUTOVETTORE PER $\lambda$ = 1
Non scrivo la matrice, pero mi interessa direttamente il sistema in quanto sbaglio proprio questo passaggio:
$\{(2y + z = 0),(y=0),(x-2y=0):}$
Se sostituisco $ y=0$ nel sistema ottengo tutto uguale a 0.. penso che sia errato
Di solito il sistema si trova sempre con una variabile, che è possibile applicare un qualsiasi valore appartenente a R
Questo è l'ultimo passaggio che non ho capito.. poi tutto il resto è OK
Fatemi sapere .. grazie ragazzi
Sto facendo qualche esercizio su autovalori ed autovettori.. faccio errori in qualche passaggio..
$((1,2,1),(0,2,0),(1,-2,-1))$
Allora il metodo che uso, e che ho imparato per determinare gli autovalori è:
DET DELLA MATRICE - $\Lambda$ IDENTITA' = 0
-->> $((1,2,1),(0,2,0),(1,-2,-1))$ - $((\Lambda,0,0),(0, \Lambda, 0),(0,0, \Lambda))$
QUINDI $((1- \Lambda,2,1),(0, 2-\Lambda, 0),(1,-2, 1-\Lambda))$
POI HO CALCOLATO IL DETERMINANTE CON REGOLA DI SARRUS
$(1- \Lambda)$ $(2- \Lambda)$ $-(2- \Lambda)$
HO MESSO IN EVIDENZA E HO TROVATO LE RADICI
$\lambda$ =1
$\lambda$ =2
$\lambda$ =2
DA QUI POI HO PROVATO A CALCOLARE L'AUTOVETTORE PER $\lambda$ = 1
Non scrivo la matrice, pero mi interessa direttamente il sistema in quanto sbaglio proprio questo passaggio:
$\{(2y + z = 0),(y=0),(x-2y=0):}$
Se sostituisco $ y=0$ nel sistema ottengo tutto uguale a 0.. penso che sia errato
Di solito il sistema si trova sempre con una variabile, che è possibile applicare un qualsiasi valore appartenente a R
Questo è l'ultimo passaggio che non ho capito.. poi tutto il resto è OK
Fatemi sapere .. grazie ragazzi
Risposte
Non mi torna il determinante, dovrebbe essere $-Λ(Λ-2)^2$
Ho provato con sarrus e laplace si trova identico quindi dovrebbe trovarsi come ho fatto io ..
Hai impostato questo calcolo?
det = $(1-Λ)^2(2-Λ) -2 +Λ $
det = $(1-Λ)^2(2-Λ) -2 +Λ $
sisi esattamente.. in realtà l'unico problema che ho con diversi esercizi è il sistema finale per determinare gli autovettori
Impostato quel calcolo a me non torna il determinante che hai trovato te (ho controllato anche con Wolfram), non mi viene 1 come autovalore e non si pone il problema dell'autospazio nullo.
Secondo me in questo esercizio l'errore sta nel calcolo del determinante.
Supposto poi che 1 fosse un autovalore anche a me tornerebbe il sistema che hai trovato te
Secondo me in questo esercizio l'errore sta nel calcolo del determinante.
Supposto poi che 1 fosse un autovalore anche a me tornerebbe il sistema che hai trovato te
ho fatto tutti i calcoli
Insomma mi esce un equazione di terzo grado che mi da come autovalore
0
2
2
$\{(x + 2y + z = 0),(2y= -0),(x -2y +z =0):}$
$\{(x + 2y + z = 0),(y= 0),(x+z =0):}$
$\{(x =-z),(y= 0),(z =-x):}$
Poi che dovrei fare intendo per determinare le soluzioni del sistema .. di solito in alcuni esercizi le soluzioni escono in funzione funzione di una sola variabile
Insomma mi esce un equazione di terzo grado che mi da come autovalore
0
2
2
$\{(x + 2y + z = 0),(2y= -0),(x -2y +z =0):}$
$\{(x + 2y + z = 0),(y= 0),(x+z =0):}$
$\{(x =-z),(y= 0),(z =-x):}$
Poi che dovrei fare intendo per determinare le soluzioni del sistema .. di solito in alcuni esercizi le soluzioni escono in funzione funzione di una sola variabile
Il primo sistema che hai trovato è quello associato all'autovalore 0.
Risolvendolo trovi le sue soluzioni che sono le terne $(-z,0,z)$
L'altro sistema da calcolare è quello associato all'autovalore 2 ed è costituito dalla sola equazione: $x-2y-z=0 $
(le altre due si eliminano in quanto lin. dip.)
Da cui poi deduci che la matrice di partenza è associata ad un endomorfismo diagonalizabile nel caso tu stia facendo uno studio di diagonalizzabilità.
Risolvendolo trovi le sue soluzioni che sono le terne $(-z,0,z)$
L'altro sistema da calcolare è quello associato all'autovalore 2 ed è costituito dalla sola equazione: $x-2y-z=0 $
(le altre due si eliminano in quanto lin. dip.)
Da cui poi deduci che la matrice di partenza è associata ad un endomorfismo diagonalizabile nel caso tu stia facendo uno studio di diagonalizzabilità.
Ho provato a fare solo per autovalore zero.. Comunque prima di tutto grazie per le risposte..
Quello che non mi trovo e che probabilmente sbaglio sono solo le soluzioni..
Perchè si mette -z,0,z e non quelle che ho trovato io ovvero -z,0,-z? solo questo non ho capito per il resto ci sono quasi
Quello che non mi trovo e che probabilmente sbaglio sono solo le soluzioni..
Perchè si mette -z,0,z e non quelle che ho trovato io ovvero -z,0,-z? solo questo non ho capito per il resto ci sono quasi
Dalla seconda equazioni trovi $y=0$
Sostituisci questo valore di $y$ nella 3° equazione del sistema e trovi $x=-z$
Poi la prima equazione diventa $0=0$ quindi non aggiunge informazioni
Allora le soluzioni sono $(-z,0,z)$
Sostituisci questo valore di $y$ nella 3° equazione del sistema e trovi $x=-z$
Poi la prima equazione diventa $0=0$ quindi non aggiunge informazioni
Allora le soluzioni sono $(-z,0,z)$
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