Automorfo gruppo ciclico d'ordine $p^n$
Confronto tra due teoremi (uno è del rotman, l'altro è del passman; rotman è decisamente più completo)
ROTMAN TEOREMA : Se p è un numero primo dispari allora: l'automorfo di un gruppo cilico di ordine $2^m$ è isomorfo a $ {1 } $ se $m=1$ ; ad un gruppo ciclico di ordine 2 se $m=2$, al prodotto diretto di un gruppo ciclico di ordine 2 e uno di ordine $2^(m-2)$ se m è maggiore o uguale a 3.
Se p è dispari allora l'automorfo di un gruppo ciclico di ordine $p^n$ è isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine $(p-1)p^(n-1)$.
PASSMANN TEOREMA: Se p è un numero primo allora: l'automorfo di un gruppo cilico di ordine $2^m$ è isomorfo al prodotto diretto di un gruppo ciclico di ordine 2 e uno di ordine $2^(m-2)$ se m è maggiore di 2. Se p è primo allora l'automorfo di un gruppo ciclico di ordine $p^n$ è isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine $(p-1)p^(n-1)$.
OSSERVAZIONE: i due teoremi sono del tutto equivalenti visto che anche se passmann non specifica p dispari, a ragion veduta visto che se p fosse pari non sarebbe primo essendo divisibile per 2. Il mio dubbio allora è questo, perchè in programma ci sono entrami?, una svista o ci sono delle differenze notevoli dal punto di vista dimostrativo che quindi possono saggiare campi differenti della mia preparazione?; nel senso, dovrebbe andare bene anche se ne dimostro uno solo dei due.
Ma mai nessuno a provato a tradurre questi due libri in italiano?; secondo me sono molto utili, e , se devo dire la verità, mi stanno facendo appassionare, ma soprattutto capire quanto l'algebra sia importante.
ROTMAN TEOREMA : Se p è un numero primo dispari allora: l'automorfo di un gruppo cilico di ordine $2^m$ è isomorfo a $ {1 } $ se $m=1$ ; ad un gruppo ciclico di ordine 2 se $m=2$, al prodotto diretto di un gruppo ciclico di ordine 2 e uno di ordine $2^(m-2)$ se m è maggiore o uguale a 3.
Se p è dispari allora l'automorfo di un gruppo ciclico di ordine $p^n$ è isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine $(p-1)p^(n-1)$.
PASSMANN TEOREMA: Se p è un numero primo allora: l'automorfo di un gruppo cilico di ordine $2^m$ è isomorfo al prodotto diretto di un gruppo ciclico di ordine 2 e uno di ordine $2^(m-2)$ se m è maggiore di 2. Se p è primo allora l'automorfo di un gruppo ciclico di ordine $p^n$ è isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine $(p-1)p^(n-1)$.
OSSERVAZIONE: i due teoremi sono del tutto equivalenti visto che anche se passmann non specifica p dispari, a ragion veduta visto che se p fosse pari non sarebbe primo essendo divisibile per 2. Il mio dubbio allora è questo, perchè in programma ci sono entrami?, una svista o ci sono delle differenze notevoli dal punto di vista dimostrativo che quindi possono saggiare campi differenti della mia preparazione?; nel senso, dovrebbe andare bene anche se ne dimostro uno solo dei due.
Ma mai nessuno a provato a tradurre questi due libri in italiano?; secondo me sono molto utili, e , se devo dire la verità, mi stanno facendo appassionare, ma soprattutto capire quanto l'algebra sia importante.
Risposte
Il numero dei generatori di un gruppo ciclico di ordine $p^n$ risulta essere $phi(p^n)$, pertanto avremo $phi(p^n)$ automorfismi distinti in tale gruppo!!
Osservando che il numero degli elementi non coprimi con $p^n$ è $p^n/p=p^(n-1)$,cioè in pratica tutti i multipli di $p$ compresi tra $1$ ed $p^n$, si ricava facilmente che il numero di quelli coprimi risulta $phi(p^n)=p^n-p^(n-1)=p^(n-1)*(p-1)$, pertanto l'automorfo di un gruppo ciclico di ordine $p^n$ è isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine $p^(n-1)*(p-1)$ e così ho concluso.
Spero di essermi spiegato correttamente!
Osservando che il numero degli elementi non coprimi con $p^n$ è $p^n/p=p^(n-1)$,cioè in pratica tutti i multipli di $p$ compresi tra $1$ ed $p^n$, si ricava facilmente che il numero di quelli coprimi risulta $phi(p^n)=p^n-p^(n-1)=p^(n-1)*(p-1)$, pertanto l'automorfo di un gruppo ciclico di ordine $p^n$ è isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine $p^(n-1)*(p-1)$ e così ho concluso.
Spero di essermi spiegato correttamente!
Francicko, quello che hai fatto è la parte facile. Devi ancora dimostrare che [tex]\text{Aut}(C_{p^n})[/tex] è ciclico! 
Si hai ragione Martino!
Appena ho un pò di tempo proverò a pensarci un pò su!
Appena ho un pò di tempo proverò a pensarci un pò su!
Si, infatti si tratta di un lemma dovuto a Gauss, l'ho trovato su un libro che ho acquistato pochi giorni fa, solo che purtroppo non ne riporta la dimostrazione!
Sul rotman e sul passman c'è la dimostrazione.
Non ho la possibilità di consultare questi testi, sicuramente interessanti. Il nocciolo del teorema comunque risiede nel lemma di Gauss in aritmetica modulare,
che asserisce quanto segue:
il gruppo moltiplicativo degli interi modulo $n$ é ciclico cioè possiede un generatore(radice primitiva), se e solo se risulta $n=2$,$n=4$,$n=p^k$,$n=2p^k$, con $p$ primo dispari($p!=2$), e $k>=1$,. Da ciò si deduce che il gruppo $Aut(C_(p^n))$ é ciclico, ed il teorema è completamente dimostrato.
Se hai una dimostrazione elementare del lemma di Gauss sopra citato, mi interesserebbe conoscerla, magari quando hai un pò di tempo prova a postarla.Grazie!
che asserisce quanto segue:
il gruppo moltiplicativo degli interi modulo $n$ é ciclico cioè possiede un generatore(radice primitiva), se e solo se risulta $n=2$,$n=4$,$n=p^k$,$n=2p^k$, con $p$ primo dispari($p!=2$), e $k>=1$,. Da ciò si deduce che il gruppo $Aut(C_(p^n))$ é ciclico, ed il teorema è completamente dimostrato.
Se hai una dimostrazione elementare del lemma di Gauss sopra citato, mi interesserebbe conoscerla, magari quando hai un pò di tempo prova a postarla.Grazie!
Si ,avevo letto il post di Martino ,molto interessante, solo che alcuni concetti per un profano come me sono difficili da comprendere!
Una dimostrazione elementare del lemma di Gauss, in cui intervengano solo elementi di aritmetica modulare, forse potrebbe essere per me di più facile comprensione.
Comunque ,grazie!
Una dimostrazione elementare del lemma di Gauss, in cui intervengano solo elementi di aritmetica modulare, forse potrebbe essere per me di più facile comprensione.
Comunque ,grazie!
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