Automorfo del gruppo $Z_2 \oplus Z_4$
Provare che $ Aut(Z_2 + Z_4)=D_8 $ .
Avveo pensato di fare così, volevo provare che $Z_2+Z_4$ è isomorfo a D_8 e richiamare un esercizio che ho fatto in precedenza, secondo il quale $AutD_8$ è isomorfo a D_8 [mod="Martino"]Specificato il titolo.[/mod]
Avveo pensato di fare così, volevo provare che $Z_2+Z_4$ è isomorfo a D_8 e richiamare un esercizio che ho fatto in precedenza, secondo il quale $AutD_8$ è isomorfo a D_8 [mod="Martino"]Specificato il titolo.[/mod]
Risposte
Ma se [tex]$\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4$[/tex] è un gruppo abeliano come può essere isomorfo ad un gruppo non abeliano come [tex]$\mathrm{D}_8$[/tex]?
E allora come potrei fare?, dovrei scrivermi quali sono gli elementi della somma diretta e poi trovarmi l'automorfo?
Questo è un'inizio, poi tieni conto che gli isomorfismi tra gruppi conservano il periodo degli elementi!
---e poi dovrei confrontare il numero di elementi che hanno lo stesso periodo nella somma diretta con quelli che hanno lo stesso periodo in D8?; se il numero di elementi che hanno lo stesso periodo coincidono allora posso affermare che i gruppi sono isomorfi?
Penso di averti già dimostrato che [tex]$\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4$[/tex] non è isomorfo a [tex]$\mathrm{D}_8$[/tex].
Il mio suggerimento è sugl'isomorfismi di un gruppo in sé, cioè è sugli automorfismi di un gruppo.
Ti faccio un esempio: siano [tex]$\langle a\rangle=\mathbb{Z}_2;\,\langle b\rangle=\mathbb{Z}_4;\,(a;b)\in\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4;\,\varphi\in\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4)$[/tex] allora [tex]$\varphi(a;b)=(a;b)$[/tex].
DOMANDA: qual è il periodo di [tex]$\varphi$[/tex]?
Il mio suggerimento è sugl'isomorfismi di un gruppo in sé, cioè è sugli automorfismi di un gruppo.
Ti faccio un esempio: siano [tex]$\langle a\rangle=\mathbb{Z}_2;\,\langle b\rangle=\mathbb{Z}_4;\,(a;b)\in\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4;\,\varphi\in\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4)$[/tex] allora [tex]$\varphi(a;b)=(a;b)$[/tex].
DOMANDA: qual è il periodo di [tex]$\varphi$[/tex]?
Scusa, volevo dire che dovevo controllare il periodo degli elementi dell'automorfo e confrontarlo con quelli di D8
Doppio profilo = Ban! Dura lex sed lex!
Non continuerò ad aiutarti(?) a meno che un moderatore non mi dica che siete utenti distinti!
Non continuerò ad aiutarti(?) a meno che un moderatore non mi dica che siete utenti distinti!
[mod="Martino"]Come ho scritto gia' a Mecq in privato, e' necessario che spieghi l'esistenza di due pseudonimi attivi entrambi suoi.[/mod]
Ora che è tutto chiarito , puoi continuare ad aiutarmi, se vuoi XD
[mod="Martino"]Confermo, l'utente Mecq e' stato cancellato, ora e' tutto a posto.[/mod]
@Martino Grazie, anche se hai fatto solo il tuo dovere! 
@biggest Ti ho lasciato con una domanda a cui non hai ancora risposto!
Per quanto riguarda la tua domanda, causa l'intoppo, non ci ho più pensato! 
@biggest Ti ho lasciato con una domanda a cui non hai ancora risposto!
Per quanto riguarda la tua domanda, causa l'intoppo, non ci ho più pensato!
Pensandoci: [tex]$\mathbb{Z}_8$[/tex] e [tex]$\mathrm{Q}_8$[/tex] hanno entrambi un unico elemento di periodo [tex]$2$[/tex] ma non sono isomorfi!
Ho risposto alla tua domanda?
Ho risposto alla tua domanda?
Altra domanda, visto che ho due gruppi i cui elementi hanno lo stesso periodo, non posso considerare un particolare isomorfismo che mandi un elemento di un dato ordine di un gruppo in un elemento dello stesso ordine dell'altro ?; in questo modo i due gruppi risulterebbero isomorfi
p.s.: a causa dell'inconveniente, mi sono perso , quale era la domanda a cui non ti ho risposto?
p.s.: a causa dell'inconveniente, mi sono perso , quale era la domanda a cui non ti ho risposto?
"biggest":Non è sempre vero che se due gruppi hanno lo stesso numero di elementi di ogni fissato ordine allora sono isomorfi.
Altra domanda, visto che ho due gruppi i cui elementi hanno lo stesso periodo, non posso considerare un particolare isomorfismo che mandi un elemento di un dato ordine di un gruppo in un elemento dello stesso ordine dell'altro ?; in questo modo i due gruppi risulterebbero isomorfi
Credo che il controesempio più semplice sia il seguente.
Prendi lo spazio vettoriale [tex]V = {\mathbb{F}_3}^2[/tex] (qui [tex]\mathbb{F}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/tex] è il campo con [tex]3[/tex] elementi) e considera l'endomorfismo (lineare) [tex]\varphi[/tex] di [tex]V[/tex] di matrice [tex]\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)[/tex] nelle basi canoniche. Ora vediamo [tex]V[/tex] semplicemente come gruppo additivo. Osservo che [tex]\varphi[/tex] è un automorfismo di [tex]V[/tex], cioè appartiene a [tex]\text{Aut}(V)[/tex], e ha ordine [tex]3[/tex] in [tex]\text{Aut}(V)[/tex].
Ora considera il prodotto semidiretto [tex]G := V \rtimes \langle \varphi \rangle[/tex], dove l'azione di [tex]\langle \varphi \rangle[/tex] è quella ovvia, [tex](\varphi,v) \mapsto \varphi(v)[/tex]. Chiaramente [tex]G[/tex] è non abeliano, dato che [tex]\varphi[/tex] non è l'applicazione identica.
Ogni elemento non identico di [tex]G[/tex] ha ordine [tex]3[/tex]. Infatti se [tex]0 \neq v \in V[/tex] allora [tex]v[/tex] ha ordine [tex]3[/tex], [tex](v \cdot \varphi)^3 = v + \varphi(v) + \varphi^2(v) = 0[/tex] e analogamente [tex](v \cdot \varphi^2)^3 = v +[/tex][tex]\varphi^2(v) + \varphi(v) = 0[/tex] (è un conto immediato).
D'altra parte preso [tex]H = C_3 \times C_3 \times C_3[/tex], ogni elemento non identico di [tex]H[/tex] ha ordine [tex]3[/tex], e [tex]H[/tex] è abeliano di ordine [tex]3^3=|G|[/tex].
Quindi [tex]G[/tex] e [tex]H[/tex] hanno lo stesso numero di elementi di ogni dato ordine ma non sono isomorfi ([tex]H[/tex] è abeliano, [tex]G[/tex] no).
Io, invece, avevo pensato a [tex]$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}$[/tex] ed a [tex]$\mathrm{D}_{\infty}$[/tex] (click! Però ti servono i prodotti semidiretti [cfr. il Vadevecum!]); a meno di miei errori. 
Scrivi [tex]\langle a \rangle = C_2[/tex], [tex]\langle b \rangle = C_4[/tex]. Qui con [tex]C_n[/tex] indico il gruppo ciclico di ordine [tex]n[/tex], e uso la notazione moltiplicativa.
Chiamiamo [tex]G=C_2 \times C_4 = \langle a \rangle \times \langle b \rangle[/tex].
Prova a dimostrare la cosa seguente: ogni automorfismo di [tex]G[/tex] fissa l'elemento [tex](1,b^2)[/tex]. (*)
Una volta fatto questo osserva che le possibili immagini di [tex](a,1)[/tex] sono di ordine [tex]2[/tex], quindi [tex](a,1)[/tex] e [tex](a,b^2)[/tex] (per (*) l'elemento [tex](1,b^2)[/tex] e' escluso), e le possibili immagini di [tex](1,b)[/tex] sono di ordine 4, quindi [tex](1,b),(a,b),(1,b^3),(a,b^3)[/tex]. Quindi hai due scelte per l'immagine di [tex](a,1)[/tex] e quattro scelte per l'immagine di [tex](1,b)[/tex]...
Ti rimane ora da verificare che le otto possibilita' che hai ottenuto danno effettivamente luogo ad automorfismi. Arrivati a questo punto costruire un isomorfismo [tex]\text{Aut}(G) \to D_8[/tex] sara' facile.
Chiamiamo [tex]G=C_2 \times C_4 = \langle a \rangle \times \langle b \rangle[/tex].
Prova a dimostrare la cosa seguente: ogni automorfismo di [tex]G[/tex] fissa l'elemento [tex](1,b^2)[/tex]. (*)
Una volta fatto questo osserva che le possibili immagini di [tex](a,1)[/tex] sono di ordine [tex]2[/tex], quindi [tex](a,1)[/tex] e [tex](a,b^2)[/tex] (per (*) l'elemento [tex](1,b^2)[/tex] e' escluso), e le possibili immagini di [tex](1,b)[/tex] sono di ordine 4, quindi [tex](1,b),(a,b),(1,b^3),(a,b^3)[/tex]. Quindi hai due scelte per l'immagine di [tex](a,1)[/tex] e quattro scelte per l'immagine di [tex](1,b)[/tex]...
Ti rimane ora da verificare che le otto possibilita' che hai ottenuto danno effettivamente luogo ad automorfismi. Arrivati a questo punto costruire un isomorfismo [tex]\text{Aut}(G) \to D_8[/tex] sara' facile.
Un modo divertente di vederla è il seguente.
In [tex]G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4[/tex] ci sono quattro elementi di ordine [tex]4[/tex], su cui [tex]\text{Aut}(G)[/tex] agisce (nel modo ovvio) fedelmente (dato che essi generano [tex]G[/tex]), otteniamo quindi un omomorfismo iniettivo [tex]\text{Aut}(G) \to S_4[/tex]. In questo modo possiamo pensare a [tex]G[/tex] come a un sottogruppo di [tex]S_4[/tex].
Ora, l'inversione (la funzione [tex]G \to G,\ g \mapsto g^{-1}[/tex]) è un elemento di [tex]\text{Aut}(G)[/tex] di ordine [tex]2[/tex] (chiamiamolo [tex]\iota[/tex]) che sta nel centro di [tex]\text{Aut}(G)[/tex], infatti se [tex]f[/tex] è un automorfismo di [tex]G[/tex] allora [tex]f(x^{-1}) = f(x)^{-1}[/tex] per ogni [tex]x \in G[/tex], cioè [tex]f \circ \iota = \iota \circ f[/tex]. Ne segue che [tex]\text{Aut}(G)[/tex] è contenuto nel centralizzante in [tex]S_4[/tex] di [tex]\iota[/tex]: [tex]\text{Aut}(G) \subseteq C_{S_4}(\iota)[/tex]. [tex]\iota[/tex] in [tex]S_4[/tex] corrisponde ad un prodotto di due trasposizioni disgiunte (l'inversione non fissa nessun elemento di ordine [tex]4[/tex]), e quindi il suo centralizzante in [tex]S_4[/tex] non è altro che un [tex]2[/tex]-Sylow di [tex]S_4[/tex], notoriamente isomorfo a [tex]D_8[/tex]. Resta da mostrare che tutti gli elementi del centralizzante determinano automorfismi di [tex]G[/tex], ma questo si fa a mano.
In [tex]G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4[/tex] ci sono quattro elementi di ordine [tex]4[/tex], su cui [tex]\text{Aut}(G)[/tex] agisce (nel modo ovvio) fedelmente (dato che essi generano [tex]G[/tex]), otteniamo quindi un omomorfismo iniettivo [tex]\text{Aut}(G) \to S_4[/tex]. In questo modo possiamo pensare a [tex]G[/tex] come a un sottogruppo di [tex]S_4[/tex].
Ora, l'inversione (la funzione [tex]G \to G,\ g \mapsto g^{-1}[/tex]) è un elemento di [tex]\text{Aut}(G)[/tex] di ordine [tex]2[/tex] (chiamiamolo [tex]\iota[/tex]) che sta nel centro di [tex]\text{Aut}(G)[/tex], infatti se [tex]f[/tex] è un automorfismo di [tex]G[/tex] allora [tex]f(x^{-1}) = f(x)^{-1}[/tex] per ogni [tex]x \in G[/tex], cioè [tex]f \circ \iota = \iota \circ f[/tex]. Ne segue che [tex]\text{Aut}(G)[/tex] è contenuto nel centralizzante in [tex]S_4[/tex] di [tex]\iota[/tex]: [tex]\text{Aut}(G) \subseteq C_{S_4}(\iota)[/tex]. [tex]\iota[/tex] in [tex]S_4[/tex] corrisponde ad un prodotto di due trasposizioni disgiunte (l'inversione non fissa nessun elemento di ordine [tex]4[/tex]), e quindi il suo centralizzante in [tex]S_4[/tex] non è altro che un [tex]2[/tex]-Sylow di [tex]S_4[/tex], notoriamente isomorfo a [tex]D_8[/tex]. Resta da mostrare che tutti gli elementi del centralizzante determinano automorfismi di [tex]G[/tex], ma questo si fa a mano.
Martino, è somma diretta no prodotto.
"biggest":Senza parole!
Martino, è somma diretta no prodotto.
Almeno che non sia un refuso mentale, mi costringi a dirti di rivederti le definizioni.
"biggest":Parli del titolo? Se hai una famiglia finita di gruppi, il loro prodotto diretto coincide con la loro somma diretta. Comunque cambio il titolo, se ti fa piacere.
Martino, è somma diretta no prodotto.
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