Automorfo ciclico di ordine dispari

[egregio]

Mostrare che nessun gruppo può avere il suo automorfo ciclico di ordine dispari:
volevo ragionare così:
AutG coincide con il gruppo degli elementi invertibili di $(EndG,*)$; se:
- G è infinito EndG è isomorfo al semigruppo $(Z,*)$; e quindi $AutG$ ha ordine 2;
- G è finito e ha ordine m allora $EndG$ di G è isomorfo al semigruppo $(Z_m,*)$ e quindi $AutG$ è isomorfo al gruppo moltiplicativo $(U(Z_m ),*)$ degli elementi invertibili di $Z_m$. [mod="Martino"]Ho specificato il titolo.[/mod]

[Studente Anonimo]

"biggest":Mostrare che nessun gruppo può avere il suo automorfo ciclico di ordine dispari:
volevo ragionare così:
AutG coincide con il gruppo degli elementi invertibili di $(EndG,*)$; se:
- G è infinito EndG è isomorfo al semigruppo $(Z,*)$; e quindi $AutG$ ha ordine 2;
- G è finito e ha ordine m allora $EndG$ di G è isomorfo al semigruppo $(Z_m,*)$ e quindi $AutG$ è isomorfo al gruppo moltiplicativo $(U(Z_m ),*)$ degli elementi invertibili di $Z_m$.

Da quello che dici sembra che tu voglia dimostrare quanto hai enunciato solo quando [tex]G[/tex] è ciclico. Se [tex]G[/tex] non è ciclico in generale [tex]\text{Aut}(G)[/tex] non è delle forme che dici. Per esempio [tex]\text{Aut}(C_2 \times C_2) \cong S_3[/tex].

Riesco a dimostrare che [tex]\text{Aut}(G)[/tex] non è ciclico di ordine dispari quando [tex]G[/tex] è finito, ma non ho ancora trovato un argomento per risolvere il caso infinito...

[j18eos]

@biggest Robinson "A Course in the Theory of Groups" 2nd. es. pag. 30 n. 15? Se sì: aiuta che per ogni gruppo [tex]$G$[/tex], [tex]$G/_{Z(G)}\simeq\mathrm{Inn}(G)\leq\mathrm{Aut}(G)$[/tex]; supponendo [tex]$\mathrm{Aut}(G)$[/tex] ciclico deve essere [tex]$G$[/tex] abeliano (cfr. ivi es. n.7)!

OUT OF SELF Ma stai iniziando a studiare la teoria dei gruppi da tale testo?

[egregio]

@Martino : si, intendevo per gruppi ciclici, ora devo vedere per quelli finiti e infiniti non ciclici

@j18eos : si, sto studiando dal robinson

[j18eos]

Sì, ma la domanda esatta è se stai iniziando con questo libro! Se sì, passa al Rotman, il Robinson è troppo avanzato!

[egregio]

Ho delle pagine dal rotman, alcune dal passmann, altre ancora dal kurosh e dal robinson

[j18eos]

Vabbè; l'esercizio a che punto è?

[Studente Anonimo]

Come osservato da j18eos, se [tex]G[/tex] e' un gruppo tale che [tex]\text{Aut}(G)[/tex] e' ciclico di ordine dispari allora [tex]G[/tex] dev'essere abeliano. Ma allora la funzione [tex]G \to G[/tex] che manda [tex]g[/tex] in [tex]g^{-1}[/tex] e' un automorfismo di ordine [tex]2[/tex]...

... a meno che non si abbia [tex]g^2=1[/tex] per ogni [tex]g \in G[/tex]. Questo caso non e' difficile.

[egregio]

Purtroppo non sono riuscito ancora a farlo nel caso generale, suggerimenti?

[j18eos]

Esattamente in cosa ti blocchi? Cosa riesci a fare?