Automorfismi $S_4$
Ho studiato gli automorfismi di $S_3$ nel modo seguente.
So che $S_3/(Z(S_3))~=Im(S_3)<=Aut(S_3)$ dove $Im(S_3)$ è il gruppo degli automorfismi interni di $S_3$ e $Aut(S_3)$ è il gruppo degli automorfismi di $S_3$.
So che $Z(S_3)=1$, quindi $S_3/(Z(S_3))=S_3~=Im(S_3)<=Aut(S_3)$ da cui $|Aut(S_3)|>=|S_3|=6$.
Scelgo dei generatori per $S_3=<(1 2),(1 2 3)>$.
Siccome gli automorfismi (in generale, gli isomorfismi) preservano l'ordine degli elementi, un generico $phi\inAut(S_3)$ deve essere tale che $phi(1)=1$, $phi((1 2))\in{(1 2),(1 3),(2 3)}$ e $phi((1 2 3))\in{(1 2 3),(1 3 2)}$ e fissate le immagini dei generatori tale $phi$ è univocamente determinato: dunque vi sono al più $3*2=6$ automorfismi da cui $|Aut(S_3)|<=6$.
Concludo che $|Aut(S_3)|=6$ dunque $Aut(S_3)=S_3$.
Ora vorrei fare la stessa cosa per $S_4$.
So che $S_4/(Z(S_4))~=Im(S_4)<=Aut(S_4)$.
So che $Z(S_4)=1$, quindi $S_4/(Z(S_4))=S_4~=Im(S_4)<=Aut(S_4)$ da cui $|Aut(S_4)|>=|S_4|=24$.
Ora siccome $S_4$ è finito deve anche essere finitamente generato, pensavo di considerare i generatori $S_4=<(1 2),( 1 2 3),(1 2 3 4)>$ per averne uno di ordine due, uno di ordine tre e uno di ordine quattro.
Il mio dubbio è come posso essere sicuro che effettivamente questi tre elementi generino $S_4$?
So che $S_3/(Z(S_3))~=Im(S_3)<=Aut(S_3)$ dove $Im(S_3)$ è il gruppo degli automorfismi interni di $S_3$ e $Aut(S_3)$ è il gruppo degli automorfismi di $S_3$.
So che $Z(S_3)=1$, quindi $S_3/(Z(S_3))=S_3~=Im(S_3)<=Aut(S_3)$ da cui $|Aut(S_3)|>=|S_3|=6$.
Scelgo dei generatori per $S_3=<(1 2),(1 2 3)>$.
Siccome gli automorfismi (in generale, gli isomorfismi) preservano l'ordine degli elementi, un generico $phi\inAut(S_3)$ deve essere tale che $phi(1)=1$, $phi((1 2))\in{(1 2),(1 3),(2 3)}$ e $phi((1 2 3))\in{(1 2 3),(1 3 2)}$ e fissate le immagini dei generatori tale $phi$ è univocamente determinato: dunque vi sono al più $3*2=6$ automorfismi da cui $|Aut(S_3)|<=6$.
Concludo che $|Aut(S_3)|=6$ dunque $Aut(S_3)=S_3$.
Ora vorrei fare la stessa cosa per $S_4$.
So che $S_4/(Z(S_4))~=Im(S_4)<=Aut(S_4)$.
So che $Z(S_4)=1$, quindi $S_4/(Z(S_4))=S_4~=Im(S_4)<=Aut(S_4)$ da cui $|Aut(S_4)|>=|S_4|=24$.
Ora siccome $S_4$ è finito deve anche essere finitamente generato, pensavo di considerare i generatori $S_4=<(1 2),( 1 2 3),(1 2 3 4)>$ per averne uno di ordine due, uno di ordine tre e uno di ordine quattro.
Il mio dubbio è come posso essere sicuro che effettivamente questi tre elementi generino $S_4$?
Risposte
Per esempio puoi osservare che quei tre elementi generano un sottogruppo divisible per $3$ e per $4$ quindi per $12$, e che quindi devono generare [tex]S_4[/tex] perché non sono tutti pari e d'altra parte il gruppo alterno è l'unico sottogruppo di indice $2$ (perché un sottogruppo di indice $2$ deve contenere tutti i quadrati e il gruppo alterno è generato dai quadrati). Un altro modo è cercare di generare un sottogruppo di ordine $8$ (da cui l'ordine del sottogruppo generato è divisibile per $3$ e per $8$ quindi per $24$) usando $(1234)$ e un opportuno coniugato di $(12)$.
Ma l'osservazione che ti serve per mostrare che [tex]\mbox{Aut}(S_4) \cong S_4[/tex] è la seguente: i sottogruppi di [tex]S_4[/tex] di ordine 6 sono esattamente gli stabilizzatori dei punti. Prova a dimostrarlo. Usando questo fatto concludi facilmente facendo agire [tex]\mbox{Aut}(S_4)[/tex] sui quattro sottogruppi di ordine 6.
Ma l'osservazione che ti serve per mostrare che [tex]\mbox{Aut}(S_4) \cong S_4[/tex] è la seguente: i sottogruppi di [tex]S_4[/tex] di ordine 6 sono esattamente gli stabilizzatori dei punti. Prova a dimostrarlo. Usando questo fatto concludi facilmente facendo agire [tex]\mbox{Aut}(S_4)[/tex] sui quattro sottogruppi di ordine 6.
Grazie! Però che non ho ancora visto stabilizzatori e azioni su gruppi, questo è un esercizio proposto durante la lezione sugli automorfismi.
Mi hai comunque fatto osservare che posso scartare il generatore di ordine 2 e scrivere $S_4=<(1 2 3),(1 2 3 4)>$ perchè in questo modo ottengo due sottogruppi di ordine rispettivamente 3 e 4 e dunque il gruppo generato ha ordine multiplo di 12, contenendo sia permutazioni pari che dispari deve essere $S_4$.
A questo punto la stima che posso fare tramite le immagini dei generatori migliora nettamente: ho 8 possibili scelte per $phi((1 2 3))$ e 6 possibili scelte per $phi((1 2 3 4))$, per un totale di al più 48 possibili automorfismi.
Se riuscissi ad escluderne uno potrei concludere che $|Aut(S_4)|=24$ e dunque che $Aut(S_4)=S_4$ ma per escluderne uno dovrei comunciare a provare se ciascuno dei 48 candidati è automorfismo...c'è un modo più conveniente?
Mi hai comunque fatto osservare che posso scartare il generatore di ordine 2 e scrivere $S_4=<(1 2 3),(1 2 3 4)>$ perchè in questo modo ottengo due sottogruppi di ordine rispettivamente 3 e 4 e dunque il gruppo generato ha ordine multiplo di 12, contenendo sia permutazioni pari che dispari deve essere $S_4$.
A questo punto la stima che posso fare tramite le immagini dei generatori migliora nettamente: ho 8 possibili scelte per $phi((1 2 3))$ e 6 possibili scelte per $phi((1 2 3 4))$, per un totale di al più 48 possibili automorfismi.
Se riuscissi ad escluderne uno potrei concludere che $|Aut(S_4)|=24$ e dunque che $Aut(S_4)=S_4$ ma per escluderne uno dovrei comunciare a provare se ciascuno dei 48 candidati è automorfismo...c'è un modo più conveniente?
Mi sembra più semplice osservare che [tex]\langle (12)(34), (123) \rangle = A_4[/tex] (questo è vero perché quei due elementi generano un sottogruppo di ordine divisibile per 6, quindi di ordine 6 o 12, e [tex]A_4[/tex] non ha sottogruppi di ordine 6) e quindi siccome ogni elemento di [tex]S_4[/tex] induce per coniugio un automorfismo di [tex]A_4[/tex], hai [tex]S_4 \to \mbox{Aut}(A_4)[/tex] e per il tuo stesso argomento si ottiene [tex]\mbox{Aut}(A_4) \cong S_4[/tex]. Ora osserva che ogni automorfismo di [tex]S_4[/tex] induce per restrizione un automorfismo di [tex]A_4[/tex] quindi hai un omomorfismo [tex]\mbox{Aut}(S_4) \to \mbox{Aut}(A_4)[/tex] e ti resta da concludere che è un isomorfismo.
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