Automorfismi interni
ragazzi perché si dice $AA g in G$ un auotmorfismo interno è $f_g (a) rarr gag^-1$ se per qualche g non si verifica un auotomorfismo?
Risposte
CIa0 simo90,
non ho assolutamente capito la domanda, in quanto non è scritta in un italiano comprensibile: puoi correggere (tasto in alto a destra "MODIFICA").
Grazie!
non ho assolutamente capito la domanda, in quanto non è scritta in un italiano comprensibile: puoi correggere (tasto in alto a destra "MODIFICA").
Grazie!
Prego, allora ho provato a cercare un auotomorfismo di $S3$ ma facendo $(gag^-1)$ con $g=(12)$ e $a in S3$ non ho trovato tutti gli elementi di $S3$ quindi non è un automorfismo!! la domanda è: perché se nella definizione si dice che un automorfismo si ha $AA g in G$ io ho trovato un controesempio?
Mi stai facendo sentire come un padreterno, anzi, come una voce misteriosa dall'alto che dice tuonante:"Hai sbagliato!"
Da quanto leggo, evinco che tu hai capito che gli automorfismi interni di un gruppo \((G,\cdot)\) sono omomorfismi di \(G\) in sé; iniziamo con il ragionamento, fisso \(1_G\neq g\in G\) e definisco: \[\overline{g}:h\in G\to h^g=ghg^{-1}\in G\] se ti calcoli il nucleo di \(\overline{g}\) e applichi il teorema di isomorfismo dei gruppi che succede?
P.S.: banalmente l'automorfismo interno determinato dall'unità \(1_G\) di \(G\) è l'identità \(\iota_G\) del sostegno di \((G,\cdot)\).
Da quanto leggo, evinco che tu hai capito che gli automorfismi interni di un gruppo \((G,\cdot)\) sono omomorfismi di \(G\) in sé; iniziamo con il ragionamento, fisso \(1_G\neq g\in G\) e definisco: \[\overline{g}:h\in G\to h^g=ghg^{-1}\in G\] se ti calcoli il nucleo di \(\overline{g}\) e applichi il teorema di isomorfismo dei gruppi che succede?
P.S.: banalmente l'automorfismo interno determinato dall'unità \(1_G\) di \(G\) è l'identità \(\iota_G\) del sostegno di \((G,\cdot)\).
Si vede anche direttamente che è suriettivo, basta applicarlo a $g^(-1)xg$ per trovare $x$.
Rifai i conti, e in caso mettili qui!
Rifai i conti, e in caso mettili qui!
ma h va in h^g o in ghg^-1? cmq ottengo che G è isomorfo a G O.O
i calcoli che ho fatto sono (12)(1)(12)=1
(12)(12)(12)=(12)
(12)(13)(12)=(23)
(12)(23)(12)=(13)
(12)(123)(12)=(123)
(12)(132)(12)=(123)
(12)(12)(12)=(12)
(12)(13)(12)=(23)
(12)(23)(12)=(13)
(12)(123)(12)=(123)
(12)(132)(12)=(123)
Ma se ho scritto \(h^g=ghg^{-1}\) significa che lo stesso elemento lo posso indicare in due modi diversi ma equivalenti! 
Poi, non è vero che \((12)(123)(12)=(123)\), rifai il calcolo.
Poi, non è vero che \((12)(123)(12)=(123)\), rifai il calcolo.
certo c'ero arrivato, ma non ho capito il senso del tuo post..
ah sbagliavo il conto perfetto 
Che tu avessi sbagliato il calcolo non l'ho mai messo in dubbio; quale post ti sembra fuori posto. 
no non me n'ero accorto io, ora posso continuare..domanda: come si fa a dire che un automorfismo è esterno se non è interno?
Un automorfismo di un gruppo è interno oppure esterno per definizione... quindi penso che tu debba impostare meglio la domanda! 
ho capito, perché se ho un gruppo G e un sottogruppo normale K posso partizionare G con i laterali di H, e poiché Inn(G) è un sottogruppo normale di Aut(G) esso è partizionato in laterali di Inn(G), il cui numero è il numero di automorfismi esterni, e in cui Inn(G) appartiene alla classe laterale con g=1 (neutro). Sbaglio? Ma allora un sottogruppo normale è compreso nella partizione in classi laterali? sono un po confused..
"simo90":Ma sei italiano? Are you Italian?
..confused..
Ti rispondo in italiano, eventualmente proseguiremo in inglese!
Siano \(G\) un gruppo ed \(N\) un suo sottogruppo normale, allora oltre a poter partizionare \(G\) in classi laterali hai che \(G/N\) è strutturabile a gruppo; in particolare, il sostegno di \(N\) coincide con la classe laterale corrispondente all'elemento neutro. Questo crea confusione in quanto si confondono i concetti di partizione di un insieme, insieme quoziente e gruppo quoziente!
Riesci a ripetere questo discorso con \(\mathrm{Aut}(G)\) e \(\mathrm{Inn}(G)\)?
$Aut(G)$ è il gruppo in cui Inn(G) è normale, quindi Aut(G)/Inn(G), cioè l'insieme quoziente, secondo la relazione di equivalenza $g-=f$ (mod Inn(G)), (che vale per definizione se $f^-1g in Inn(G)$), è un gruppo. Gli elementi del gruppo sono tutti i laterali di Inn(G) compreso Inn(G) che corrisponde al laterale 1*Inn(G)..giusto?
It's all ok! 
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