Automorfismi in un gruppo

[Amartya]

Salve ragazzi, sono alle prese con questo esercizio:
1) Provare che se $G$ è un $p$-gruppo allora anche $I(G)$ è un $p$-gruppo e $|I(G)|$$<$$|G|$. $I(G)$ automorfismi interni
2) Provare che se $G$ è ciclico allora $Aut(G)$ è abeliano.

Per quanto riguarda il primo punto ho proceduto nel seguente modo:

Sia $|G|$ $=$ $p^n$ l'ordine del gruppo, e $I(G)$ $=$ ${\phi : \phi(x) = gxg^-1 AA x in G}$,

dal teorema di Cauchy sappiamo che in $G$ esiste un sottogruppo di ordine $p$ e questo è ciclico, quindi abeliano, pertanto $|I(G_p)|$ $=$ $1$, quindi siano

$x,y in G$ se $x,y in G_p$ allora $\phi(xy) = gxyg-1 = gg^-1xy = xy$, altrimenti

$\phi(xy) = gxyg^-1 = gxg^-1 gyg^-1 = \phi(x)\phi(y)$, quindi $I(G)$ è un $p$-gruppo, in particolare ha ordine $p^(n-1)$



Per quanto riguarda il punto secondo ho così argomentato:

Se $G$ è ciclico è anche abeliano, infatti siano $g^t$ e $g^s$ due elemnti qualsiasi di $G$, si ha : $g^(t)g^(s)$ $=$ $g^(t+s)$ $=$ $g^(s+t)$ $=$ $g^(s)g^(t)$

Dato l'automorfismo $\pi$$:$$G -> G$ si ha presi due elementi qualsiasi $x,y in G$:

$\pi(xy)$$=$$\pi(x)\pi(y)$$=$$\pi(yx)$$=$$\pi(y)\pi(x)$

Vorrei capire da voi, se ci sono errori in tali argometazioni.

Grazie in anticipo

Emanuele

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ciao

Purtroppo è quasi tutto sbagliato.

"emanuele78":$gxyg-1 = gg^-1xy$

Non hai giustificato questa uguaglianza, che in generale è falsa.

$\phi(xy) = gxyg^-1 = gxg^-1 gyg^-1 = \phi(x)\phi(y)$, quindi $I(G)$ è un $p$-gruppo

Non c'è nessuna ragione per cui quello che hai scritto dovrebbe implicare che I(G) è un p-gruppo.

$\pi(xy)$$=$$\pi(x)\pi(y)$$=$$\pi(yx)$$=$$\pi(y)\pi(x)$

Questo è vero, ma non implica assolutamente l'abelianità di Aut(G). Per provare che Aut(G) è abeliano devi prendere due automorfismi [tex]\pi,\varphi[/tex] (tu ne hai preso solo uno) e dimostrare che [tex]\pi \varphi = \varphi \pi[/tex].

Se mi permetti ti dò un consiglio: cerca qualcuno esperto che ti spieghi un po' queste cose a parole. E' davvero difficile e lungo imparare tutto solo coi libri.

[Amartya]

"Martino":Ciao

Purtroppo è quasi tutto sbagliato.[quote="emanuele78"]$gxyg-1 = gg^-1xy$

Non hai giustificato questa uguaglianza, che in generale è falsa.

$\phi(xy) = gxyg^-1 = gxg^-1 gyg^-1 = \phi(x)\phi(y)$, quindi $I(G)$ è un $p$-gruppo

Non c'è nessuna ragione per cui quello che hai scritto dovrebbe implicare che I(G) è un p-gruppo.

$\pi(xy)$$=$$\pi(x)\pi(y)$$=$$\pi(yx)$$=$$\pi(y)\pi(x)$

Questo è vero, ma non implica assolutamente l'abelianità di Aut(G). Per provare che Aut(G) è abeliano devi prendere due automorfismi [tex]\pi,\varphi[/tex] (tu ne hai preso solo uno) e dimostrare che [tex]\pi \varphi = \varphi \pi[/tex].

Se mi permetti ti dò un consiglio: cerca qualcuno esperto che ti spieghi un po' queste cose a parole. E' davvero difficile e lungo imparare tutto solo coi libri.[/quote]

Caro Martino ; beh partiamo dal consiglio, credimi sarebbe la cosa più giusta ma ahimè per darci un ordine di grandezza nella sola Roma ci sono solo circa 150 studenti di matematica ogni anno come matricola. E Algebra, che molti miei amici pur ingegneri identificano con Algebra lineare, viene studiata solo in facoltà di Matematica. Quindi dovrò fare da solo, la cosa positiva è che molti esercizi di teoria dei Gruppi, riesco a risolverli da solo grazie anche al contributo passato del FOL. Certo lo studio non è efficiente, nel senso che spesso vado oltre il programma, ma almeno imparo qualcosa in più. La volontà non manca

Ritornando all'esercizio, relativamente al punto 1 mi mancava l'aspetto teorico che $I(G) ~= G/(Z(G))$ di cui tralascio la dimostrazione per rapidità. D'altra parte essendo $G$ un $p$-gruppo di ordine $p^n$ il suo centro $Z(G)$ è non banale, infatti dalla equazione delle classi risulta facilmente che $p | Z(G)$, quindi anche $Z(G)$ è sottogruppo normale di ordine $p^m$ con $m

Per il punto 2 invece ipotizzo questa dimostrazione(verso la quale nutro qualche perplessità, infatti l’abelianità di $G$ mi fa risultare sin troppo intuitivo pensare che anche $Aut(G)$ sia abeliano) seguendo il tuo consiglio siano $x,y in G$ e $\pi, \varphi in Aut(G)$

con $\pi(x) =g x$, $\varphi(y) =h y$ , $g,h in G$

Poichè $G$ è ciclico è anche abeliano, quindi $xy = yx$, ma in generale ogni elemento di $G$ commuta con qualsiasi elemento di $G$, e quindi anche $gh = hg$ pertanto si ha

$\pi(x)\varphi(y) = gxhy = ghxy = ghyx = hgyx = hygx = \varphi(y)\pi(x)$


PS
Per quanto riguarda il fatto che $ \pi(xy) = gxyg^-1 = gg^(-1)xy = xy $ pensavo di averlo detto che ciò accade se e solo se $G$ è abeliano.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"emanuele78":La volontà non manca

Vedo e ti faccio i complimenti per l'entusiasmo!

Ritornando all'esercizio, relativamente al punto 1 mi mancava l'aspetto teorico che $I(G) ~= G/(Z(G))$ di cui tralascio la dimostrazione per rapidità. D'altra parte essendo $G$ un $p$-gruppo di ordine $p^n$ il suo centro $Z(G)$ è non banale, infatti dalla equazione delle classi risulta facilmente che $p | Z(G)$, quindi anche $Z(G)$ è sottogruppo normale di ordine $p^m$ con $mE' giusto. Pero' non serve che I(G) abbia ordine inferiore a quello di G, basta il fatto che [tex]I(G) \cong G/Z(G)[/tex], essendo [tex]|I(G)|=|G|/|Z(G)|[/tex].

Per il punto 2 invece ipotizzo questa dimostrazione(verso la quale nutro qualche perplessità, infatti l’abelianità di $G$ mi fa risultare sin troppo intuitivo pensare che anche $Aut(G)$ sia abeliano)

Questo e' falso. Esistono gruppi abeliani i cui gruppi degli automorfismi non sono abeliani. Per esempio [tex]\text{Aut}(C_2 \times C_2) \cong S_3[/tex].

seguendo il tuo consiglio siano $x,y in G$ e $\pi, \varphi in Aut(G)$

con $\pi(x) =g x$, $\varphi(y) =h y$ , $g,h in G$

Poichè $G$ è ciclico è anche abeliano, quindi $xy = yx$, ma in generale ogni elemento di $G$ commuta con qualsiasi elemento di $G$, e quindi anche $gh = hg$ pertanto si ha

$\pi(x)\varphi(y) = gxhy = ghxy = ghyx = hgyx = hygx = \varphi(y)\pi(x)$

Stai facendo un po' di confusione. Ti ricordo che nel gruppo [tex]\text{Aut}(G)[/tex] l'operazione e' la composizione. Quello che devi dimostrare e' questo: dati due automorfismi [tex]\varphi,\pi \in \text{Aut}(G)[/tex], per ogni [tex]g \in G[/tex] si ha [tex]\varphi(\pi(g)) = \pi(\varphi(g))[/tex]. E per questo non basta che G sia abeliano (come ho osservato prima), serve proprio che G sia ciclico.

PS Per quanto riguarda il fatto che $ \pi(xy) = gxyg^-1 = gg^(-1)xy = xy $ pensavo di averlo detto che ciò accade se e solo se $G$ è abeliano.

No non l'avevi detto, era relativo al punto 1), e nel punto 1) non era richiesto che G fosse abeliano.

[Amartya]

Il fatto che $G$ sia ciclico implica che in $G$ esistono elementi generatori di $G$, essi sono quelli coprimi con l'ordine di $G$. E' possibile quindi stabilire una corrisponedenza biunivoca tra i generatori di $G$ ed il gruppo degli $Aut(G)$. Infatti basta un solo generatore per determinare completamente $G$.
Quindi sia $g^n$ un generatore di $G$ di ordine $n$ appunto, è possibile definire un automorfismo tra $G$$->$$G$ stabilendo la seguente uguaglianza $\pi(g^n) =g^n AA \pi in Aut(G)$.

Ciò detto presi comunque due elementi di $Aut(G)$, $\pi_1; \pi_2$ si ha:

$\pi_1o\pi_2(g^n) = \pi_1(\pi_2(g^n)) = \pi_1(g^n) = g^n$ e $\pi_2o\pi_1(g^n) = \pi_2(\pi_1(g^n)) = \pi_2(g^n) = g^n$ e quindi

$\pi_1o\pi_2(g^n) = \pi_2o\pi_1(g^n)$

Basta quindi identificare i generatori di $G$ per stabilire una mappa completa di $G$ in $G$.

Spero sia così, altrimenti non so che pensare.

Grazie

Emanuele

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Non e' cosi'.

"emanuele78":è possibile definire un automorfismo tra $G$$->$$G$ stabilendo la seguente uguaglianza $\pi(g^n) =g^n AA \pi in Aut(G)$.

Se [tex]g^n[/tex] e' un generatore e [tex]\pi[/tex] manda [tex]g^n[/tex] in [tex]g^n[/tex] allora [tex]\pi[/tex] e' l'identita', ovviamente. E' falso che tutti gli automorfismi di G sono l'identita'.

Ti faccio vedere come si dimostra che se G e' ciclico allora Aut(G) e' abeliano.

Chiamiamo [tex]g[/tex] un generatore di G (fissato una volta per tutte). Se [tex]\pi \in \text{Aut}(G)[/tex] allora [tex]\pi(g)=g^k[/tex] con [tex]g^k[/tex] anch'esso generatore di [tex]G[/tex], essendo [tex]G = \pi(G) = \pi(\langle g \rangle) = \langle \pi(g) \rangle = \langle g^k \rangle[/tex]. Quindi [tex]\pi[/tex] e' determinato dall'intero [tex]k[/tex] tale che [tex]\pi(g)=g^k[/tex]. Chiameremo quindi [tex]\pi_k[/tex] l'automorfismo di G che manda [tex]g[/tex] in [tex]g^k[/tex].

Ora prendiamo due automorfismi [tex]\pi_k, \pi_h[/tex] di G. Dobbiamo dimostrare che [tex]\pi_k \pi_h = \pi_h \pi_k[/tex], in altre parole dobbiamo dimostrare che per ogni elemento [tex]x=g^n \in G[/tex] si ha

[tex]\pi_k(\pi_h(x)) = \pi_h(\pi_k(x))[/tex].

Calcoliamo:

[tex]\pi_k(\pi_h(x)) = \pi_k(\pi_h(g^n)) = \pi_k(\pi_h(g)^n) = \pi_k(g^{hn}) = \pi_k(g)^{hn} = g^{khn}[/tex].

Calcoliamo:

[tex]\pi_h(\pi_k(x)) = \pi_h(\pi_k(g^n)) = \pi_h(\pi_k(g)^n) = \pi_h(g^{kn}) = \pi_h(g)^{kn} = g^{hkn}[/tex].

Quindi [tex]\pi_k(\pi_h(x)) = g^{khn} = g^{hkn} = \pi_h(\pi_k(x))[/tex].

[Amartya]

"Martino":Non e' cosi'.[quote="emanuele78"]è possibile definire un automorfismo tra $G$$->$$G$ stabilendo la seguente uguaglianza $\pi(g^n) =g^n AA \pi in Aut(G)$.

Se [tex]g^n[/tex] e' un generatore e [tex]\pi[/tex] manda [tex]g^n[/tex] in [tex]g^n[/tex] allora [tex]\pi[/tex] e' l'identita', ovviamente. E' falso che tutti gli automorfismi di G sono l'identita'.

Ti faccio vedere come si dimostra che se G e' ciclico allora Aut(G) e' abeliano.

Chiamiamo [tex]g[/tex] un generatore di G (fissato una volta per tutte). Se [tex]\pi \in \text{Aut}(G)[/tex] allora [tex]\pi(g)=g^k[/tex] con [tex]g^k[/tex] anch'esso generatore di [tex]G[/tex], essendo [tex]G = \pi(G) = \pi(\langle g \rangle) = \langle \pi(g) \rangle = \langle g^k \rangle[/tex]. Quindi [tex]\pi[/tex] e' determinato dall'intero [tex]k[/tex] tale che [tex]\pi(g)=g^k[/tex]. Chiameremo quindi [tex]\pi_k[/tex] l'automorfismo di G che manda [tex]g[/tex] in [tex]g^k[/tex].

Ora prendiamo due automorfismi [tex]\pi_k, \pi_h[/tex] di G. Dobbiamo dimostrare che [tex]\pi_k \pi_h = \pi_h \pi_k[/tex], in altre parole dobbiamo dimostrare che per ogni elemento [tex]x=g^n \in G[/tex] si ha

[tex]\pi_k(\pi_h(x)) = \pi_h(\pi_k(x))[/tex].

Calcoliamo:

[tex]\pi_k(\pi_h(x)) = \pi_k(\pi_h(g^n)) = \pi_k(\pi_h(g)^n) = \pi_k(g^{hn}) = \pi_k(g)^{hn} = g^{khn}[/tex].

Calcoliamo:

[tex]\pi_h(\pi_k(x)) = \pi_h(\pi_k(g^n)) = \pi_h(\pi_k(g)^n) = \pi_h(g^{kn}) = \pi_h(g)^{kn} = g^{hkn}[/tex].

Quindi [tex]\pi_k(\pi_h(x)) = g^{khn} = g^{hkn} = \pi_h(\pi_k(x))[/tex].[/quote]

Innanzitutto, chiaramente grazie mille dell'aiuto.

Ti mentirei, se dicessi che sono pienamente convinto. Diciamo che lo sono quasi.

Parto dall'inizio, concordo con te che non è solo l'identità a generare $G$, infatti, anche io mi riferisco a tutti i generatori di $G$, il fatto che nella scrittura poi sbagli è dato dal fatto che se $n$ è l'ordine del mio gruppo, anche il periodo dell'elemento che lo genera $$ deve sempre essere $n$ (o $k$ come lo identifichi tu).

Ma se $$ è il generatore di $G$ di ordine $k$ come hai scritto e se gli automorfismi sono da $G$ $->$ $G$, allora come può esserci alla fine un elemento di ordine $g^(khn)$?

Infatti, non vorrei sbagliarmi, ma un gruppo è ciclico se esiste un elemento detto generatore che ha periodo l'ordine del gruppo.

Grazie ancora

Emanuele

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Fai l'errore concettuale di pensare che se [tex]g[/tex] e' un generatore allora l'elemento [tex]g^n[/tex] ha ordine [tex]n[/tex]. Questo non e' vero. Prova a pensarci. Per esempio se [tex]g[/tex] e' un generatore del gruppo ciclico di ordine [tex]6[/tex] allora [tex]g^3[/tex] ha ordine [tex]2[/tex]. Un altro esempio: se [tex]g[/tex] e' un generatore del gruppo ciclico di ordine [tex]10[/tex] allora [tex]g^6[/tex] ha ordine [tex]5[/tex].

In generale detto [tex]g[/tex] un generatore del gruppo ciclico di ordine [tex]n[/tex], l'elemento [tex]g^k[/tex] ha ordine [tex]n/(n,k)[/tex] (dove [tex](n,k)[/tex] indica il massimo comun divisore di [tex]n[/tex] e [tex]k[/tex]). Questo e' dovuto all'uguaglianza seguente: [tex]\text{MCD}(n,k) \cdot \text{mcm}(n,k) = n \cdot k[/tex].

[Amartya]

"Martino":Fai l'errore concettuale di pensare che se [tex]g[/tex] e' un generatore allora l'elemento [tex]g^n[/tex] ha ordine [tex]n[/tex]. Questo non e' vero. Prova a pensarci. Per esempio se [tex]g[/tex] e' un generatore del gruppo ciclico di ordine [tex]6[/tex] allora [tex]g^3[/tex] ha ordine [tex]2[/tex]. Un altro esempio: se [tex]g[/tex] e' un generatore del gruppo ciclico di ordine [tex]10[/tex] allora [tex]g^6[/tex] ha ordine [tex]5[/tex].

In generale detto [tex]g[/tex] un generatore del gruppo ciclico di ordine [tex]n[/tex], l'elemento [tex]g^k[/tex] ha ordine [tex]n/(n,k)[/tex] (dove [tex](n,k)[/tex] indica il massimo comun divisore di [tex]n[/tex] e [tex]k[/tex]). Questo e' dovuto all'uguaglianza seguente: [tex]\text{MCD}(n,k) \cdot \text{mcm}(n,k) = n \cdot k[/tex].

Ok, chiaro.