Automorfismi del gruppo simmetrico

[nico1231]

per n diverso da 6 aut(Sn)=int(Sn)...perche? so che int(Sn)=Sn/Z(Sn)=Sn perche il centro è banale...devo dimostrare che aut(Sn)=Sn...per n=3 riesco a vederlo ma per gli altri?

[Steven11]

"nico123":per n=6 aut(Sn)=int(Sn)...perche?

Veramente questa proprietà vale proprio per tutti gli altri, cioè $n!= 6$

[nico1231]

scusatemi avevo sbagliato! perche?

[Steven11]

Guarda, la dimostrazione l'ho vista fare una volta, ma non era affatto banale.
Se dovessi trovarla te la linko, ma non saprei.
Nel frattempo magari qualcuno ne sa più di me e mi anticipa.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

La dimostrazione non è semplice. Puoi trovarla qui, pagine 66 in basso e seguenti. Qui si dimostra che [tex]\text{Aut}(A_n)=S_n[/tex], e da questo puoi dedurre che [tex]\text{Aut}(S_n)=S_n[/tex] osservando che ogni automorfismo di [tex]S_n[/tex] induce per restrizione un automorfismo di [tex]A_n[/tex] (perché [tex]A_n[/tex] è caratteristico) e quindi che hai un omomorfismo [tex]\text{Aut}(S_n) \to \text{Aut}(A_n)=S_n[/tex], che è un isomorfismo in quanto se due automorfismi di [tex]S_n[/tex] coincidono su [tex]A_n[/tex] allora coincidono.