Automorfismi del gruppo dei quaternioni
Rega ho un esercizio esattamente studiare il gruppo degli automorfismi nel gruppo dei quaternioni $H_8$.
La mia idea è stata la seguente a priori sappiamo che $Aut(H_8)
Che dite funge?
Grazie e a presto.
La mia idea è stata la seguente a priori sappiamo che $Aut(H_8)
Che dite funge?
Grazie e a presto.
Risposte
mmm... così non mi dici nulla! 
Potresti copiarmi la definizione del gruppo $C_G(H)$?
Potresti copiarmi la definizione del gruppo $C_G(H)$?
Ti riporto la definizione che ho sul libro che utilizzo di solito quando devo rivedere alcune cosette di algebra.
Def:Se $H$ è un sottogruppo di un gruppo $G$, si dice centralizzante di H in G, e si denota col simbolo $C_G(H)$, l'insieme degli elementi $x in G$ tali che $xh=hx , AAh in H$
Def:Se $H$ è un sottogruppo di un gruppo $G$, si dice centralizzante di H in G, e si denota col simbolo $C_G(H)$, l'insieme degli elementi $x in G$ tali che $xh=hx , AAh in H$
Claro! grazie mille!!
Di niente...spero di essere stato utile!
Ad esempio visto che si é parlato di automorfismi interni di $Q_8$, se considero il prodotto $i(-j)(-k)=-1$, in queso caso
l'immagine degli elementi $i,j,k$, che danno come prodotto $ijk=-1$, saranno rispettivamente $phi(i)=i$, $phi(j)=-j$, $phi(k)=-k$, ora se continuo a descrivere $phi$ in modo che si corrispondano gli inversi, cioè $phi(-i)=-i$, $phi(-j)=j$, $phi(-k)=k$, avrò completamente determinato un automorfismo in questo caso interno di $Q_8$, infatti $ii(-i)=i$, $ij(-i)=-j$, $ik(-i)=-k$, $i(-i)(-i)=-i$, $i(-j)(-i)=j$, $i(-k)(-i)=k$ cioé corrisponde all'automorfismo interno indotto dall'elemento $i$.
Se avessi considerato il prodotto $(-i)j(-k)=-1$, l'automorfismo interno in questo caso sarebbe dato da $phi(i)=-i$, $phi(j)=j$, $phi(k)=-k$, $phi(-i)=i$, ecc.ecc. cioè ogni volta che considero un applicazione che fissa un elemento del prodotto $ijk$, e manda i restanti nei loro inversi ottengo un automorfismo interno di $Q_8$. Gli automorfismi interni di $Q_8$ hanno tutti ordine $2$, e costituiscono un sottogruppo di $Aut(Q_8)$ isomorfo al gruppo di Klein.
xVict85. "Immagino si riferisse al fatto che l'immagine dei generatori $i,j,k$ definisce completamente un omomorfismo di
gruppi", giusto, intendevo proprio questo!
Spero che qualcuno possa verificare l' esattezza o meno delle mie asserzioni, in modo da poter continuare la discussione su questo particolare gruppo che ha suscitato e penso non solo in me particolare nteresse!
Saluti!
l'immagine degli elementi $i,j,k$, che danno come prodotto $ijk=-1$, saranno rispettivamente $phi(i)=i$, $phi(j)=-j$, $phi(k)=-k$, ora se continuo a descrivere $phi$ in modo che si corrispondano gli inversi, cioè $phi(-i)=-i$, $phi(-j)=j$, $phi(-k)=k$, avrò completamente determinato un automorfismo in questo caso interno di $Q_8$, infatti $ii(-i)=i$, $ij(-i)=-j$, $ik(-i)=-k$, $i(-i)(-i)=-i$, $i(-j)(-i)=j$, $i(-k)(-i)=k$ cioé corrisponde all'automorfismo interno indotto dall'elemento $i$.
Se avessi considerato il prodotto $(-i)j(-k)=-1$, l'automorfismo interno in questo caso sarebbe dato da $phi(i)=-i$, $phi(j)=j$, $phi(k)=-k$, $phi(-i)=i$, ecc.ecc. cioè ogni volta che considero un applicazione che fissa un elemento del prodotto $ijk$, e manda i restanti nei loro inversi ottengo un automorfismo interno di $Q_8$. Gli automorfismi interni di $Q_8$ hanno tutti ordine $2$, e costituiscono un sottogruppo di $Aut(Q_8)$ isomorfo al gruppo di Klein.
xVict85. "Immagino si riferisse al fatto che l'immagine dei generatori $i,j,k$ definisce completamente un omomorfismo di
gruppi", giusto, intendevo proprio questo!
Spero che qualcuno possa verificare l' esattezza o meno delle mie asserzioni, in modo da poter continuare la discussione su questo particolare gruppo che ha suscitato e penso non solo in me particolare nteresse!
Saluti!
Ritornando al gruppo dei quaternioni $Q_8$ che consta degli elementi $1,-1,i,j,k,-i,-j,-k$, una presentazione di questo gruppo per mezzo di generatori e relazioni, é data da:
$Q_8=Q$ $=<(i,j) |(-1)^2=1, (-1)i=i(-1)=-i, (-1)j=j(-1)=-j, i^2=j^2=(ij)(ij)=-1>$.
Un altro esempio di presentazione di questo gruppo è dato da:
$Q_8=Q$ $=<(j,i) |(-1)^2=1, (-1)j=j(-1)=-j, (-1)i=i(-1)=-i, j^2=i^2=(ji)(ji)=-1>$.
Adesso se considero l'applicazione seguente di $Q$ in $Q$, cioé di $Q_8$ in se stesso, data da:
$i->j,j->i$ é un omomorfismo, scritta per esteso $1->1,-1->-1,i->j,j->i,-i->-j,-j->-i$, ed essendo iniettiva avremo un automorfismo!
Un altro esempio ancora di presentazione é il seguente:
$Q_8=Q<-i,j>$$=<(-i,j) | (-1)^2=1, (-1)(-i)=(-i)(-1)=i, (-1)j=j(-1)=-j, (-i)^2=j^2=(-ij)(-ij)=-1$.
Osservo dunque che comunque prendo una coppia di generatori posso ottenere con le rispettive relazioni una presentazione
di $Q_8$, che mi permette di costruire la medesima tavola del gruppo, inoltre essendo le coppie ordinate di generatori in numero di $24$, posso dedurre che il gruppo $Q_8$ possiede esattamente $24$ automorfismi!
Spero proprio che qualcuno intervenga, in modo da poter continuare la discussione , inoltre avendo effettuato delle verifiche sembrerebbe che nelle argomentazioni che ho qui riportato ci sia perlomeno qualcosa di vero.
Resto in attesa!
Saluti!
$Q_8=Q
Un altro esempio di presentazione di questo gruppo è dato da:
$Q_8=Q
Adesso se considero l'applicazione seguente di $Q
$i->j,j->i$ é un omomorfismo, scritta per esteso $1->1,-1->-1,i->j,j->i,-i->-j,-j->-i$, ed essendo iniettiva avremo un automorfismo!
Un altro esempio ancora di presentazione é il seguente:
$Q_8=Q<-i,j>$$=<(-i,j) | (-1)^2=1, (-1)(-i)=(-i)(-1)=i, (-1)j=j(-1)=-j, (-i)^2=j^2=(-ij)(-ij)=-1$.
Osservo dunque che comunque prendo una coppia di generatori posso ottenere con le rispettive relazioni una presentazione
di $Q_8$, che mi permette di costruire la medesima tavola del gruppo, inoltre essendo le coppie ordinate di generatori in numero di $24$, posso dedurre che il gruppo $Q_8$ possiede esattamente $24$ automorfismi!
Spero proprio che qualcuno intervenga, in modo da poter continuare la discussione , inoltre avendo effettuato delle verifiche sembrerebbe che nelle argomentazioni che ho qui riportato ci sia perlomeno qualcosa di vero.
Resto in attesa!
Saluti!
Ripropongo la domanda nel modo seguente, se ho un gruppo $Q$, ed siano $$, $X$ preserva le rispettive relazioni $R$, ed $R_1$, questo non è un automorfismo di $Q$?
Resto in attesa di una risposta .
Saluti!
Resto in attesa di una risposta .
Saluti!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo