Automorfismi
Sto ancora cercando di digerire gli automorfismi di gruppi =)
1) sia dato $G$ abeliano di ordine 4. Devo costruire $Aut(G)$, cioè gli omomorfismi $G\rightarrowG$. Dunque l'idea che mi sono fatto è innanzitutto che sapendo che $G=$, allora gli automorfismi basta che li definisco sulla base (giusto?):
- $\phi(a)=\phi(b)=1$ l'omomorfismo banale, è davvero un omomorfismo
- $\phi(a)=a, \phi(b)=b$ identità
- $\phi(a)=b, \phi(b)=a$
non dovrebbero essercene altri...
2)altro quesito: Voglio dimostrare che $Aut(S_3) = \mbox{Inn}(S_3) \cong S_3$.
L'idea è che un automosfimo su $S_3$mi manda trasposizioni in trasposizioni;
e che un automorfismo lo posso caratterizzare conoscendo le immagini delle trasposizioni.
Ora, ho 3 trasposizioni quindi ho 6 modi di combinare le immagini quindi $|Aut(S_3)|\leq6$.
Come deduco che $Aut(S_3)=\mbox{Inn}(S_3)$?
1) sia dato $G$ abeliano di ordine 4. Devo costruire $Aut(G)$, cioè gli omomorfismi $G\rightarrowG$. Dunque l'idea che mi sono fatto è innanzitutto che sapendo che $G=
- $\phi(a)=\phi(b)=1$ l'omomorfismo banale, è davvero un omomorfismo
- $\phi(a)=a, \phi(b)=b$ identità
- $\phi(a)=b, \phi(b)=a$
non dovrebbero essercene altri...
2)altro quesito: Voglio dimostrare che $Aut(S_3) = \mbox{Inn}(S_3) \cong S_3$.
L'idea è che un automosfimo su $S_3$mi manda trasposizioni in trasposizioni;
e che un automorfismo lo posso caratterizzare conoscendo le immagini delle trasposizioni.
Ora, ho 3 trasposizioni quindi ho 6 modi di combinare le immagini quindi $|Aut(S_3)|\leq6$.
Come deduco che $Aut(S_3)=\mbox{Inn}(S_3)$?
Risposte
Le risposte ai tuoi quesiti le trovi qui.
Più in generale, ti segnalo questo compendio (nella fattispecie, guarda la voce "Automorfismi di gruppi") che ho creato appunto per poter segnalare discussioni già fatte a utenti nuovi. E' un filone in vista (uno dei primi tre in lista) nella sezione di Algebra (cioè quella in cui ci troviamo). Prova a dargli uno sguardo la prossima volta che ti viene un dubbio
Più in generale, ti segnalo questo compendio (nella fattispecie, guarda la voce "Automorfismi di gruppi") che ho creato appunto per poter segnalare discussioni già fatte a utenti nuovi. E' un filone in vista (uno dei primi tre in lista) nella sezione di Algebra (cioè quella in cui ci troviamo). Prova a dargli uno sguardo la prossima volta che ti viene un dubbio
Scusa se ti rompo Martino, ma ormai sei diventato il mio guru.. =)
Nelle dispense hai scritto
Dunque, ho capito com è fatto l'omomorfismo, ad esempio
$\gamma: \S_3 \rightarrow { 1\rightarrow k }$
dove $k$ è tale che
$\gamma: (23)(1)\rightarrow (1j)(k)$ .... ok
Ma per immersione cosa intendi? che $Aut(S_3) \subseteq S_3$ ?
e quindi? come si conclude? help
(nb Si potrebbe anche fare questo ragionamento?
sapendo che $\mbox{Inn}(S_3)={S_3}/{Z(S_3)}$ e che $Z(S_3)=1$ allora $\mbox{Inn}(S_3)=S_3$ e poichè $Aut(S_3)$ dovrebbe essere un sottogruppo compreso tra i due, allora anche $Aut(S_3)=S_3$.
)
Nelle dispense hai scritto
"Martino":
Per esempio per mostrare che Aut(S3)=S3 osserva che ogni automorfismo di S3 permuta (12), (13) e (23), quindi Aut(S3) si immerge in S3 (tramite l'omomorfismo che manda γ nella permutazione che manda i nel punto fissato dall'immagine tramite γ della trasposizione che fissa i) e hai concluso.
Dunque, ho capito com è fatto l'omomorfismo, ad esempio
$\gamma: \S_3 \rightarrow { 1\rightarrow k }$
dove $k$ è tale che
$\gamma: (23)(1)\rightarrow (1j)(k)$ .... ok
Ma per immersione cosa intendi? che $Aut(S_3) \subseteq S_3$ ?
e quindi? come si conclude? help
(nb Si potrebbe anche fare questo ragionamento?
sapendo che $\mbox{Inn}(S_3)={S_3}/{Z(S_3)}$ e che $Z(S_3)=1$ allora $\mbox{Inn}(S_3)=S_3$ e poichè $Aut(S_3)$ dovrebbe essere un sottogruppo compreso tra i due, allora anche $Aut(S_3)=S_3$.
)
Se un gruppo [tex]G[/tex] è tale che [tex]Z(G) = \{1\}[/tex] allora [tex]G \cong \text{Inn}(G) \subseteq \text{Aut}(G)[/tex]. Ma in generale sull'inclusione [tex]\text{Inn}(G) \subseteq \text{Aut}(G)[/tex] non sai dire niente.
Se hai capito come ho costruito l'omomorfismo [tex]\text{Aut}(S_3) \to S_3[/tex] ti resta da mostrare che è iniettivo (se ci riesci puoi dedurre che è un isomorfismo semplicemente cofrontando gli ordini).
Comunque ti segnalo caldamente questo, e anzi se hai voglia leggiti tutto il filone.
Se hai capito come ho costruito l'omomorfismo [tex]\text{Aut}(S_3) \to S_3[/tex] ti resta da mostrare che è iniettivo (se ci riesci puoi dedurre che è un isomorfismo semplicemente cofrontando gli ordini).
Comunque ti segnalo caldamente questo, e anzi se hai voglia leggiti tutto il filone.
(2) domanda 
scusa
Voglio dimostrare che $GL(2,2)\congS_3$. Quindi devo costruire l'isomorfismo.
L'idea è questa:
Dimostro che il gruppo $GL(2,2) = SL(2,2)$ agisce transitivamente sull’insieme dei tre vettori non nulli di $F:= ((F_2)^2) \\{0} = {(1, 0) , (0, 1), (1, 1)}$ e poi faccio vedere che è azione fedele.
$GL(2,2) \times F \rightarrow F$ è transitiva perchè basta scriversi le matrici (sono tutte quelle con 3 uni e alcune di quelle con 2 uni).. e si vede subito che $\forallx,y\inF$ esiste $A\inGL \mbox{ t.c. } xA=y$.
Per mostrare che è fedele, cioè che esiste una matrice che permuta effettivamente tutti gli elementi, basta prendere una matrice fatta come vogliamo (banale)..
Ora, ne otteniamo un isomorfismo $GL(2, 2)\rightarrow{S_3}$. Perchè? .
Se $GL\timesF$ è un'azione del gruppo $GL$ sull'insieme non vuoto $F$ allora $\forallg \in GL$ la funzione $\pi_{g} : F \rightarrow F \mbox{ tc } x \rightarrow x \cdot g$ è una permutazione di $F$, in effetti l'insieme $S := {\pi_{g} : g \in G}$ costituisce un sottogruppo NON BANALE (xke è fedele?) del gruppo simmetrico di $F$, cioè di $S_3$. Ma poichè $S_3$ è semplice (giusto? xke non ha sottogruppi non banali) allora $S\equivS_3$.
Infine $S$ è isomorfo a $GL(2,2)$ se e solo se l'azione è fedele.
Xke quest ultima implicazione?
Non capisco bene l'isomorfismo: $GL\rightarrow S$. prende una matrice $g\inGL$ e la manda in $\pi_{g}$ ?
ed è isomorfismo xke è iniettiva per costruzione e suriettiva grazie al fatto che l azione è fedele quindi esiste una $\pi_{g}$ che mi scambia come voglio ???
scusaVoglio dimostrare che $GL(2,2)\congS_3$. Quindi devo costruire l'isomorfismo.
L'idea è questa:
Dimostro che il gruppo $GL(2,2) = SL(2,2)$ agisce transitivamente sull’insieme dei tre vettori non nulli di $F:= ((F_2)^2) \\{0} = {(1, 0) , (0, 1), (1, 1)}$ e poi faccio vedere che è azione fedele.
$GL(2,2) \times F \rightarrow F$ è transitiva perchè basta scriversi le matrici (sono tutte quelle con 3 uni e alcune di quelle con 2 uni).. e si vede subito che $\forallx,y\inF$ esiste $A\inGL \mbox{ t.c. } xA=y$.
Per mostrare che è fedele, cioè che esiste una matrice che permuta effettivamente tutti gli elementi, basta prendere una matrice fatta come vogliamo (banale)..
Ora, ne otteniamo un isomorfismo $GL(2, 2)\rightarrow{S_3}$. Perchè? .
Se $GL\timesF$ è un'azione del gruppo $GL$ sull'insieme non vuoto $F$ allora $\forallg \in GL$ la funzione $\pi_{g} : F \rightarrow F \mbox{ tc } x \rightarrow x \cdot g$ è una permutazione di $F$, in effetti l'insieme $S := {\pi_{g} : g \in G}$ costituisce un sottogruppo NON BANALE (xke è fedele?) del gruppo simmetrico di $F$, cioè di $S_3$. Ma poichè $S_3$ è semplice (giusto? xke non ha sottogruppi non banali) allora $S\equivS_3$.
Infine $S$ è isomorfo a $GL(2,2)$ se e solo se l'azione è fedele.
Xke quest ultima implicazione?
Non capisco bene l'isomorfismo: $GL\rightarrow S$. prende una matrice $g\inGL$ e la manda in $\pi_{g}$ ?
ed è isomorfismo xke è iniettiva per costruzione e suriettiva grazie al fatto che l azione è fedele quindi esiste una $\pi_{g}$ che mi scambia come voglio ???
ti giuro che prima di farti le domande cerco nel forum se ci sono argomenti in cui già affronta i temi.. e avevo trovato quello degli automofismi interni.. ma non mi sembrava soddisfacesse la mia domanda... (effettivamante non ero arrivato alla 4 pagina..)
Mi scuso x lo scassamento di maroni!
Mi scuso x lo scassamento di maroni!
Ti consiglio di ripassarti bene la teoria delle azioni dei gruppi.
A un'azione di un gruppo [tex]G[/tex] su un insieme [tex]X[/tex] corrisponde come sai un omomorfismo [tex]G \to \text{Sym}(X)[/tex] (quello che manda [tex]g[/tex] nella biiezione [tex]x \mapsto x^g[/tex] di [tex]X[/tex]), e l'azione si dice fedele se tale omomorfismo è iniettivo, cioè se l'unico elemento di [tex]G[/tex] che fissa tutti gli elementi di [tex]X[/tex] è l'elemento neutro di [tex]G[/tex].
Ora, se [tex]V[/tex] è uno spazio vettoriale allora [tex]GL(V)[/tex] (il gruppo degli automorfismi lineari di [tex]V[/tex]) agisce sui vettori non nulli, e tale azione è ovviamente fedele (per definizione! Lo zero è mandato in zero per linearità, quindi l'identità è quell'unico automorfismo che fissa tutti i vettori non nulli). Quindi ottieni un omomorfismo iniettivo [tex]GL(V) \to \text{Sym}(V-\{0\})[/tex].
Ora, i vettori non nulli di [tex]\mathbb{Z}_2^2[/tex] sono tre e quindi hai un omomorfismo iniettivo [tex]GL(2,2) \to S_3[/tex]. Esso è un isomorfismo perché [tex]|GL(2,2)|=|S_3|[/tex].
Ora per favore pensa bene a quello che ho scritto prima di intervenire di nuovo! Ciao.
A un'azione di un gruppo [tex]G[/tex] su un insieme [tex]X[/tex] corrisponde come sai un omomorfismo [tex]G \to \text{Sym}(X)[/tex] (quello che manda [tex]g[/tex] nella biiezione [tex]x \mapsto x^g[/tex] di [tex]X[/tex]), e l'azione si dice fedele se tale omomorfismo è iniettivo, cioè se l'unico elemento di [tex]G[/tex] che fissa tutti gli elementi di [tex]X[/tex] è l'elemento neutro di [tex]G[/tex].
Ora, se [tex]V[/tex] è uno spazio vettoriale allora [tex]GL(V)[/tex] (il gruppo degli automorfismi lineari di [tex]V[/tex]) agisce sui vettori non nulli, e tale azione è ovviamente fedele (per definizione! Lo zero è mandato in zero per linearità, quindi l'identità è quell'unico automorfismo che fissa tutti i vettori non nulli). Quindi ottieni un omomorfismo iniettivo [tex]GL(V) \to \text{Sym}(V-\{0\})[/tex].
Ora, i vettori non nulli di [tex]\mathbb{Z}_2^2[/tex] sono tre e quindi hai un omomorfismo iniettivo [tex]GL(2,2) \to S_3[/tex]. Esso è un isomorfismo perché [tex]|GL(2,2)|=|S_3|[/tex].
Ora per favore pensa bene a quello che ho scritto prima di intervenire di nuovo! Ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo