Automorfismi
Inanzitutto mi scuso se è la seconda discussione che apro in poco tempo, non apro topic per ogni stronzata, ma sono diversi giorni che faccio decine e decine di esercizi.
I miei problemi nascono su questi tre esercizi:
8. Mostrare che un sottogruppo normale di un gruppo è unione di classi
di coniugio.
9. Stabilire se la seguente affermazione ` vera o falsa: Siano G, G' gruppi
finiti. Se G e G hanno lo stesso ordine, allora Aut(G) e Aut(G' ) hanno
lo stesso ordine.
10. Determinare esplicitamente tutti gli automorfismi di Z18 in Z12 . De-
terminare tutti gli automorfismi di Z8 .
Andando con ordine:
Per quanto riguarda l'esercizio 8 ho spulciato in giro ed ho letto che ha a che fare con Azioni e Sylow, cose che non ho fatto (non frequento Matematica, ma Informatica ed abbiamo un programma d'Algebra strano). Io sinceramente riesco a fermarmi al fatto che un sottogruppo H di G è normale se $xHx^-1 = H $ per ogni x in G.
Per l'esercizio 9 ed anche il 10 non so dove metter mano, sul gruppo Aut trovo veramente poco sui miei appunti e sul testo di riferimento.
Ulteriore mio dubbio sul 10. Come fanno ad esistere automorfismi da Z18 in Z12 ? Un automorfismo non manda un gruppo in se stesso ? Inoltre, come si trovano gli automorfismi ? A pensarci in modo "random" mi viene in mente solo $barx -> bar(x+1)$, ma immagino ci sia sicuramente un modo rigoroso per trovare tale insieme.
Vi ringrazio di cuore!
I miei problemi nascono su questi tre esercizi:
8. Mostrare che un sottogruppo normale di un gruppo è unione di classi
di coniugio.
9. Stabilire se la seguente affermazione ` vera o falsa: Siano G, G' gruppi
finiti. Se G e G hanno lo stesso ordine, allora Aut(G) e Aut(G' ) hanno
lo stesso ordine.
10. Determinare esplicitamente tutti gli automorfismi di Z18 in Z12 . De-
terminare tutti gli automorfismi di Z8 .
Andando con ordine:
Per quanto riguarda l'esercizio 8 ho spulciato in giro ed ho letto che ha a che fare con Azioni e Sylow, cose che non ho fatto (non frequento Matematica, ma Informatica ed abbiamo un programma d'Algebra strano). Io sinceramente riesco a fermarmi al fatto che un sottogruppo H di G è normale se $xHx^-1 = H $ per ogni x in G.
Per l'esercizio 9 ed anche il 10 non so dove metter mano, sul gruppo Aut trovo veramente poco sui miei appunti e sul testo di riferimento.
Ulteriore mio dubbio sul 10. Come fanno ad esistere automorfismi da Z18 in Z12 ? Un automorfismo non manda un gruppo in se stesso ? Inoltre, come si trovano gli automorfismi ? A pensarci in modo "random" mi viene in mente solo $barx -> bar(x+1)$, ma immagino ci sia sicuramente un modo rigoroso per trovare tale insieme.
Vi ringrazio di cuore!
Risposte
8. Mostrare che un sottogruppo normale di un gruppo è unione di classi di coniugio.Non ha a che fare con azioni e Sylow. Si tratta semplicemente di dimostrare che [tex]H = \bigcup_{h \in H} \{g^{-1}hg\ |\ g \in G\}[/tex]. E' una cosa praticamente ovvia, ma ti consiglio di scrivere la dimostrazione rigorosamente.
[...]
Per quanto riguarda l'esercizio 8 ho spulciato in giro ed ho letto che ha a che fare con Azioni e Sylow, cose che non ho fatto (non frequento Matematica, ma Informatica ed abbiamo un programma d'Algebra strano). Io sinceramente riesco a fermarmi al fatto che un sottogruppo H di G è normale se $xHx^-1 = H $ per ogni x in G.
9. Stabilire se la seguente affermazione ` vera o falsa: Siano G, G' gruppiProva a considerare i gruppi [tex]\mathbb{Z}_4[/tex] e [tex]\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2[/tex], o i gruppi [tex]\mathbb{Z}_6[/tex] e [tex]S_3[/tex].
finiti. Se G e G hanno lo stesso ordine, allora Aut(G) e Aut(G' ) hanno
lo stesso ordine.
10. Determinare esplicitamente tutti gli automorfismi di Z18 in Z12.Intende gli omomorfismi [tex]\mathbb{Z}_{18} \to \mathbb{Z}_{12}[/tex]. Per questo ti rimando qui.
Per il futuro consulta anche questo
PS. Cerca di usare le formule in futuro (vedi la barra rosa qui in alto), grazie
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