Automorfismi

[Thomas16]

per imparare qualcosa stavo leggendo queste dispense:

www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/Galois.pdf

a pag.55 nell'esempio 4.5 sapete dirmi come mai è sicuro o come giustifica che le applicazioni $\alpha_i$ che definisce siano effettivamente automorfismi dell'estensione?

(non credo proprio che si ragioni dicendo: so che il gruppo di galois ha quattro elementi, solo questi rispettano le condizioni necessarie, quindi vanno bene... ci sarà un metodo diretto)

[Lord K]

A quel file mi dà accesso negato...

[Thomas16]

davvero? strano...

prova a scrivere su google

baker an introduction to galois"

il primo risultato dovrebbe essere proprio quel file pdf!

[Lord K]

Dal tuo link non si vedeva nulla, da google pare funzioni tutto... bah! Ora ci dò uno sguardo!

[Thomas16]

"Lord K":Dal tuo link non si vedeva nulla, da google pare funzioni tutto... bah! Ora ci dò uno sguardo!

grazie Mi-Lord!

[Salamandra2]

Beh, si ha che ogni automorfismo lascia fissa l'unità e quindi ogni automorfismo di un'estensione di $QQ$ lascia fisso $QQ$. Inoltre hai che nell'estensione $QQ(sqrt(2),sqrt(3))$ ogni elemento si scrive come combinazione lineare a coefficienti in $QQ$ di $1$, $sqrt(2)$, $sqrt(3)$ e $sqrt(6)=sqrt(2)*sqrt(3)$. Quindi basta guardare le immagini di $1$, $sqrt(2)$, $sqrt(3)$ e $sqrt(6)$, ma bastano le immagini di $sqrt(2)$ e $sqrt(3)$, e per trovarle usi il fatto che le loro immagini tramite un automorfismo devono esere radici del loro polinomio minimo, cioé $alpha(sqrt(2))=\pm\sqrt(2)$ e $alpha(sqrt(3))=\pm\sqrt(3)$. Così trovi i quattro automorfismi. Ciao Ciao