Automorfismi

[miuemia]

Ho un dubbio su questo esercizio: Determinare $Aut((QQ(phi,root[5](2)))//QQ)$ cioè il gruppo degli automorfismi di $QQ(phi,root[5](2))$ che fissano $QQ$,
dove $phi$ è una radice primitiva quinta dell'unità.
adesso visto che l estensione $QQsubeQQ(phi,root[5](2))$ ha grado $20$ allora tale gruppo avrà ordine $20$. ma adesso non riesco a trovarlo tale gruppo.
perchè ho trovato un automorfismo di ordine $5$ infatti considero $f(\phi)=\phi^2$ questo ha ordine $5$ quindi genera un sottogruppo di ordine $5$ ma poi non so che fare, come andare avanti???

[rubik2]

scrivo quello che mi è venuto in mente: (cambio notazioni e chiamo $omega$ la radice dell'unità e G il gruppo di automorfismi)

un automorfismo $phi$ è individuato una volta assegnati $phi(omega)$ e $phi(root[5](2))$ ora:

$phi(omega)=omega^i$ con $iinU(5)$

$phi(root[5](2))=omega^kroot[5](2)$ con $kinZZ_5$

quindi come hai già detto te il gruppo avrà 20 elementi. ora qui la cosa si fa nebulosa (lo so siamo all'inizio ancora!). assegnati quindi i,k come sopra ho un automorfismo $phi_(ik)$ ora vedo come si comporta il gruppo rispetto alla composizione (dopo che l'avrò fatto forse sarà chiaro cosa intendo)

siano $phi_(ik)$ e $phi_(jh)$ due automorfismi.

$phi_(ik)(phi_(jh)(omega))=omega^(i*j)=phi_(jh)(phi_(ik)(omega))$ dove $i*j$ è ancora in $U(5)$ e gli automorfismi commutano su $omega$


$phi_(ik)(phi_(jh)(root[5](2)))=phi_(ik)(omega^hroot[5](2))=phi_(ik)(omega^h)phi_(ik)(root[5](2))=omega^(h*i)*omega^kroot[5](2)=omega^(h*i+k)*root[5](2)$
quindi $phi_(ik)*phi_(jh)=phi_(i*j,h*i+k)$ (non ho verificato ma su $root[5](2)$ non commuta)

questo ci suggerisce l'isomorfismo di gruppi tra G e il prodotto semidiretto $H=(U(5),*)x(ZZ_5,+)$ (quello normale è $U(5)$ in quanto gli automorfismi commutano su $omega$). in $H$ il prodotto sarà:
$( i , k ) * ( j , h ) = ( i*j , h*i+k )$

l'isomorfismo associerà ad $phi_(ik)->( i , k )$

mi sembra un po' brutale e anche se non so se G è un gruppo noto ne ho dato una descrizione completa. spero sia chiaro e giusto. se qualcuno può confermare (o meglio dare una soluzione più bella)

[miuemia]

non capisco perchè $phi_{ik}(phi_{jh}(omega))=omega^{ij}$???

[rubik2]

allora: $phi_(jh)(omega)=omega^j$ e $phi_(ik)(omega^j)=(phi_(ik)(omega))^j=(omega^i)^j=omega^(i*j)$

[miuemia]

rubik ci ho pensato un pò su allor ti scrivo quanto segue:

visto che $QQ(root[5](2),omega)$ è campo di spezzamento di $x^5-2$ su $QQ$ allora come ho già detto prima $|Aut((QQ(root[5](2),omega))//QQ)|=20$ cioè il grado dell'estensione adesso un automorfismo $phi$ è completamente determinato dai valori che assume su $alpha=root[5](2)$ e su $omega$ che è una radice quinta primitiva dell'unità.
quindi $phi(alpha)\in{alpha,\alpha\omega,\alpha\omega^2,\alpha\omega^3,\alpha\omega^4}$
e $phi(alpha)\in{omega,omega^2,\omega^3,omega^4}$
detto questo per capire di che diavolo gruppo di ordine $20$ si tratta un modo sarebbe fare dei tentativi cioè definire $phi$ su $alpha$ e su $omega$...
però così mi sembra troppo brutale. ci sarà un altro metodo?????

[rubik2]

"miuemia":rubik ci ho pensato un pò su allor ti scrivo quanto segue:

visto che $QQ(root[5](2),omega)$ è campo di spezzamento di $x^5-2$ su $QQ$ allora come ho già detto prima $|Aut((QQ(root[5](2),omega))//QQ)|=20$ cioè il grado dell'estensione adesso un automorfismo $phi$ è completamente determinato dai valori che assume su $alpha=root[5](2)$ e su $omega$ che è una radice quinta primitiva dell'unità.
quindi $phi(alpha)\in{alpha,\alpha\omega,\alpha\omega^2,\alpha\omega^3,\alpha\omega^4}$
e $phi(alpha)\in{omega,omega^2,\omega^3,omega^4}$
detto questo per capire di che diavolo gruppo di ordine $20$ si tratta un modo sarebbe fare dei tentativi cioè definire $phi$ su $alpha$ e su $omega$...
però così mi sembra troppo brutale. ci sarà un altro metodo?????

è quello che ho fatto io ne più ne meno, per questo dicevo che era brutale, forse non sono stato chiaro nell'esporre. se è così e ti interessa dimmi quali sono i punti oscuri cercherò di spiegarli meglio. credo comunque che si possa fare qualcosa untilizzando il teorema di Galois. ci penso ancora su