Automorfismi

[giuliacarlino1993]

Se ho un gruppo finito con la caratteristica che $ Aut(G) $ è banale, come faccio a dimostrare che $ G $ è abeliano e che ogni suo elemento ha ordine $ <= 2 $ ??

[j18eos]

Ammetto che il problema per il principiante è insormontabile, per cui ti scrivo di studiare le applicazioni:\[\forall y\in G,\,c_y:x\in G\to y^{-1}xy\in G\] ed ottenuto che \(G\) è abeliano studia l'applicazione:\[\varphi:x\in G\to x^2\in G.\]

[Pappappero1]

Mi intrometto, perché mi è venuta una curiosità

Esiste un'esempio di $G$ diverso da $C_2$ con questa proprietà? Se ogni elemento ha ordine $2$, $G$ non è un $2$-gruppo abeliano elementare?

In quel caso sarebbe prodotto diretto di copie di $C_2$, giusto? Ma allora gli scambi di fattore sono automorfismi non banali, giusto?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Pappappero, è giusto quello che dici.

"Pappappero":Esiste un'esempio di $G$ diverso da $C_2$ con questa proprietà?

No. Ogni gruppo di cardinalità maggiore di 2 ha almeno un automorfismo non identico.

Il problema è che per gruppi infiniti questo risultato richiede l'assioma della scelta, nello specifico serve che lo spazio vettoriale [tex]{\mathbb{F}_2}^X[/tex] (dove [tex]\mathbb{F}_2[/tex] è il campo [tex]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/tex] e [tex]X[/tex] è un fissato insieme qualsiasi) ammetta una base.