Assiomi di Peano subordinati ai numeri primi ?
Ogni numero naturale o è un numero primo oppure è un numero derivante da un primo ( si evince dal teorema fondamentale dell'aritmetica .)
La definizione di N basata sugli assiomi di Peano e sulla funzione successore nulla dice circa la costruzione di N .
La costruzione standard , tramite la funzione successore , si limita ad individuare i numeri naturali , il che presuppone che
tutti i numeri naturali esistono già d per se ?!
Ma ciò non equivale al concetto pitagorico circa i numeri ?
Secondo Pitagora i numeri erano entità date .. , per dare una nuova defnizione di numero è intervenuta la teoria degli insiemi che stabilisce
che , ad es. , il numero k è tale in quanto è l'insieme di tutti gli insiemi che contengono k elementi : il che pressupone , a sua volta , che tale insieme sia un insieme dato ..
Allora delle due l'una :
1) o tutti i numeri naturali sono entità date ed allora i numeri composti non derivano dai numeri primi
2) oppure , se i numeri composti derivano dai primi , occorre individuare una genesi dei numeri naturali partendo dai numeri primi .
Dunque perchè non costruire N partendo dal teorema fondamentale dell'aritmetica ?
Mi rento conto che per applicare il teorema fondamentale dell'aritmetica è necessario avere tutti i numeri naturali ,
ma è anche vero che per utilizzare gli assiomi di Peano e la funzione sucessore è necessario prima costruire N partendo dai numeri primi ..
Come si può risolvere questo problema ?
La definizione di N basata sugli assiomi di Peano e sulla funzione successore nulla dice circa la costruzione di N .
La costruzione standard , tramite la funzione successore , si limita ad individuare i numeri naturali , il che presuppone che
tutti i numeri naturali esistono già d per se ?!
Ma ciò non equivale al concetto pitagorico circa i numeri ?
Secondo Pitagora i numeri erano entità date .. , per dare una nuova defnizione di numero è intervenuta la teoria degli insiemi che stabilisce
che , ad es. , il numero k è tale in quanto è l'insieme di tutti gli insiemi che contengono k elementi : il che pressupone , a sua volta , che tale insieme sia un insieme dato ..
Allora delle due l'una :
1) o tutti i numeri naturali sono entità date ed allora i numeri composti non derivano dai numeri primi
2) oppure , se i numeri composti derivano dai primi , occorre individuare una genesi dei numeri naturali partendo dai numeri primi .
Dunque perchè non costruire N partendo dal teorema fondamentale dell'aritmetica ?
Mi rento conto che per applicare il teorema fondamentale dell'aritmetica è necessario avere tutti i numeri naturali ,
ma è anche vero che per utilizzare gli assiomi di Peano e la funzione sucessore è necessario prima costruire N partendo dai numeri primi ..
Come si può risolvere questo problema ?
Risposte
Secondo me hai un poco le idee confuse. Parecchio confuse.
Un sistema assiomatico ti fornisce gli assiomi della teoria, non un modello della teoria. Se si considerano gli assiomi dei numeri reali (quelli con i quali hanno a che fare gli iscrittti al primo anno di Matematica), questi ti dicono come si comportano i numeri reali, ma non ti dicono se si sta considerando come modello di $RR$ quello in cui i numeri reali sono allineamenti decimali di cifre, oppure se come modello di $RR$ si sta considerando quello in cui i numeri reali sono tagli di Dedekind su $QQ$.
Gli assiomi di Peano dicono questo:
1) assumiamo che esista un insieme non vuoto: tale insieme lo denotiamo con $NN$ e i suoi elementi li chiamiamo numeri naturali;
2) a questo insieme non vuoto appartiene un numero naturale indicato con $0$ e chiamato zero;
3) questo insieme è tale per cui esiste una funzione $sigma(cdot) : NN to NN$ che manda l'elemento $n in NN$ nell'elemento $sigma(n) in NN$, chiamato successore di $n$ e questa funzione è iniettiva e non suriettiva, poiché la fibra di $0$ è vuota, i.e. $f^{leftarrow}(0)=emptyset$;
4) l'insieme $NN$ è tale per cui preso $S \subseteq NN$, se $0 \in S$ e $n in S => sigma(n) in S$, allora $S=NN$.
Punto, basta, stop.
Successivamente, con gli assiomi di Peano si definiscono l'addizione e la moltiplicazione, se ne verificano per induzione le proprietà e si pone $1:=sigma(0)$.
Una volta che sia stato fatto tutto questo si può introdurre il teorema della divisione euclidea in $NN$, parlare di relazione di divisibilità, introdurre i concetti di massimo comun divisore ($"gcd"$) e minimo comune multiplo ("lcm"), quindi definire il concetto di numero primo, definire il concetto di potenza, introdurre $ZZ$, estendere il teorema della divisione euclidea a $ZZ$, estendere i concetti di $"gcd"$ e $"lcm"$ e quindi dare il teorema fondamentale dell'aritmeica.
Se proprio ci tieni puoi introdurre il teorema fondamentale già in $NN$, dopo avere introdotto il concetto di potenza, ma solitamente questo teorema è dato in $ZZ$.
Come puoi vedere, con gli assiomi di Peano i numeri naturali non sono definiti, ma sono entità primitive caratterizzate da assiomi. La teoria degli insiemi ti permette poi di costruire dei modelli dei numeri natuali.
E allora in ZF puoi porre $0:=emptyset, 1:={emptyset}, 2:={emptyset, {emptyset}}, ... $.
In una teoria assiomatica che preveda le classi, puoi parlare della teoria dei cardinali, quindi prendere la classe degli insiemi finiti (definiti come insiemi non infiniti), quozientarla rispetto alla relazione di equivalenza di equicardinalità, e porre che ogni classe di cardinalità rappresenti un numero naturale, andando a porre $"card"(emptyset)=:0, "card"({emptyset})=:1,...$, ottenendo un secondo modello per i numeri naturali, poiché entrambi questi modelli rispettano gli assiomi di Peano.
I numeri primi possono essere definiti sono una volta che si abbia $NN$ (o assiomaticamente o "costruttivamente"), quindi in ragione dei primi, distinguere i natuali in primi e composti, ma non così, andando a caso, ma ponendo per definizione $0,1$ non primi, chiamando primi quelli che hanno solo divisori banali e dicendo composti quelli rimangono in $NN$ una volta tolti $0,1$ e i primi: è allora evidente che questi composti hanno divisori non banali, perché se non ne avesero sarebbero primi.
Un sistema assiomatico ti fornisce gli assiomi della teoria, non un modello della teoria. Se si considerano gli assiomi dei numeri reali (quelli con i quali hanno a che fare gli iscrittti al primo anno di Matematica), questi ti dicono come si comportano i numeri reali, ma non ti dicono se si sta considerando come modello di $RR$ quello in cui i numeri reali sono allineamenti decimali di cifre, oppure se come modello di $RR$ si sta considerando quello in cui i numeri reali sono tagli di Dedekind su $QQ$.
Gli assiomi di Peano dicono questo:
1) assumiamo che esista un insieme non vuoto: tale insieme lo denotiamo con $NN$ e i suoi elementi li chiamiamo numeri naturali;
2) a questo insieme non vuoto appartiene un numero naturale indicato con $0$ e chiamato zero;
3) questo insieme è tale per cui esiste una funzione $sigma(cdot) : NN to NN$ che manda l'elemento $n in NN$ nell'elemento $sigma(n) in NN$, chiamato successore di $n$ e questa funzione è iniettiva e non suriettiva, poiché la fibra di $0$ è vuota, i.e. $f^{leftarrow}(0)=emptyset$;
4) l'insieme $NN$ è tale per cui preso $S \subseteq NN$, se $0 \in S$ e $n in S => sigma(n) in S$, allora $S=NN$.
Punto, basta, stop.
Successivamente, con gli assiomi di Peano si definiscono l'addizione e la moltiplicazione, se ne verificano per induzione le proprietà e si pone $1:=sigma(0)$.
Una volta che sia stato fatto tutto questo si può introdurre il teorema della divisione euclidea in $NN$, parlare di relazione di divisibilità, introdurre i concetti di massimo comun divisore ($"gcd"$) e minimo comune multiplo ("lcm"), quindi definire il concetto di numero primo, definire il concetto di potenza, introdurre $ZZ$, estendere il teorema della divisione euclidea a $ZZ$, estendere i concetti di $"gcd"$ e $"lcm"$ e quindi dare il teorema fondamentale dell'aritmeica.
Se proprio ci tieni puoi introdurre il teorema fondamentale già in $NN$, dopo avere introdotto il concetto di potenza, ma solitamente questo teorema è dato in $ZZ$.
Come puoi vedere, con gli assiomi di Peano i numeri naturali non sono definiti, ma sono entità primitive caratterizzate da assiomi. La teoria degli insiemi ti permette poi di costruire dei modelli dei numeri natuali.
E allora in ZF puoi porre $0:=emptyset, 1:={emptyset}, 2:={emptyset, {emptyset}}, ... $.
In una teoria assiomatica che preveda le classi, puoi parlare della teoria dei cardinali, quindi prendere la classe degli insiemi finiti (definiti come insiemi non infiniti), quozientarla rispetto alla relazione di equivalenza di equicardinalità, e porre che ogni classe di cardinalità rappresenti un numero naturale, andando a porre $"card"(emptyset)=:0, "card"({emptyset})=:1,...$, ottenendo un secondo modello per i numeri naturali, poiché entrambi questi modelli rispettano gli assiomi di Peano.
I numeri primi possono essere definiti sono una volta che si abbia $NN$ (o assiomaticamente o "costruttivamente"), quindi in ragione dei primi, distinguere i natuali in primi e composti, ma non così, andando a caso, ma ponendo per definizione $0,1$ non primi, chiamando primi quelli che hanno solo divisori banali e dicendo composti quelli rimangono in $NN$ una volta tolti $0,1$ e i primi: è allora evidente che questi composti hanno divisori non banali, perché se non ne avesero sarebbero primi.
grazie WiZaRd : davvero una gran bella spiegazione 
Dopo aver ottenuto $NN$ , definito i primi ed introdotto il teorema fondamentale dell'aritmetica ,
posso avanzare l'ipotesi che i numeri composti sono stati costruiti in modo univoco dai primi attraverso la moltiplicazione ?
Se ciò fosse possibile mi mostreresti come si fa
?
Dopo aver ottenuto $NN$ , definito i primi ed introdotto il teorema fondamentale dell'aritmetica ,
posso avanzare l'ipotesi che i numeri composti sono stati costruiti in modo univoco dai primi attraverso la moltiplicazione ?
Se ciò fosse possibile mi mostreresti come si fa
?
Sì... e no.
Si dicono primi i numeri distinti dallo $0$ e dall'unità tali che i soli divisori di questi numeri sono quelli banali, cioè l'unità e il numero medesimo. Si dicono composti i numeri che non sono primi, cioè per i quali i divisori non si esauriscono con quelli banali.
Queste sono le definizioni che io conosco: come si vede non si fa riferimento al fatto di "costruire" i composti, ma questi vengono distinti dai primi per mezzo dei primi stessi.
Si può però provare che un numero $n!=0$ è composto se e solo se esitono due numeri naturali $r,s$ distinti dall'unità e da $n$ tali che $n=r cdot s$. La prova è banale e segue dalla definizione (se non ne sei convinto chiedi pure): ma ciò che è interssante è che $r,s$ non sono necessariamente primi. Per sempio $24$ è composto perché posso scrivere $24=6cdot4$, con $6$ e $4$ non primi.
Costruire o, meglio, riscrivere i naturali come prodotto di primi è esattamente il contenuto del teorema fondamentale dell'aritmetica.
Si dicono primi i numeri distinti dallo $0$ e dall'unità tali che i soli divisori di questi numeri sono quelli banali, cioè l'unità e il numero medesimo. Si dicono composti i numeri che non sono primi, cioè per i quali i divisori non si esauriscono con quelli banali.
Queste sono le definizioni che io conosco: come si vede non si fa riferimento al fatto di "costruire" i composti, ma questi vengono distinti dai primi per mezzo dei primi stessi.
Si può però provare che un numero $n!=0$ è composto se e solo se esitono due numeri naturali $r,s$ distinti dall'unità e da $n$ tali che $n=r cdot s$. La prova è banale e segue dalla definizione (se non ne sei convinto chiedi pure): ma ciò che è interssante è che $r,s$ non sono necessariamente primi. Per sempio $24$ è composto perché posso scrivere $24=6cdot4$, con $6$ e $4$ non primi.
Costruire o, meglio, riscrivere i naturali come prodotto di primi è esattamente il contenuto del teorema fondamentale dell'aritmetica.
.. e se diamo la seguente definizione equivalente di numero primo :
è un numero naturale $ k > 1$, ottenibile (riscrivbile) soltanto attraverso il prodotto tra l'unità e se stesso , ossia $ k * 1$ ;
Conseguentemente , i numeri composti sarebbero quei numeri ottenibili , direttamente o indirettamente , tramite il prodotto tra primi :
si ottengono cioè :
$ 1)$ o tramite il prodotto tra numeri primi (direttamente) ,
$ 2)$ o tramite il prodotto tra un primo ed un composto , oppure tramite il prodotto di composti , derivanti dal prodotto tra primi , (indirettamente) .
cosi , ad es.
$ 24 = 6 * 4 $ ottenuto indirettamente in quanto $ 6 = 2 * 3 $ e $ 4 = 2 * 2 $ , indi $ 24 = 2 ^3 * 3 $
mentre $ 10 = 2 * 5 $ ottenuto direttamente ..
Si può però provare che un numero $n!=0$ è composto se e solo se esitono due numeri naturali $r,s$ distinti dall'unità e da $n$ tali che $n=r cdot s$. La prova è banale e segue dalla definizione (se non ne sei convinto chiedi pure): la dimostrazione non la so fare .. me la mostri
?
P.S.: .. vista l'ora , colgo l'occasione x darti la buonanotte ..
è un numero naturale $ k > 1$, ottenibile (riscrivbile) soltanto attraverso il prodotto tra l'unità e se stesso , ossia $ k * 1$ ;
Conseguentemente , i numeri composti sarebbero quei numeri ottenibili , direttamente o indirettamente , tramite il prodotto tra primi :
si ottengono cioè :
$ 1)$ o tramite il prodotto tra numeri primi (direttamente) ,
$ 2)$ o tramite il prodotto tra un primo ed un composto , oppure tramite il prodotto di composti , derivanti dal prodotto tra primi , (indirettamente) .
cosi , ad es.
$ 24 = 6 * 4 $ ottenuto indirettamente in quanto $ 6 = 2 * 3 $ e $ 4 = 2 * 2 $ , indi $ 24 = 2 ^3 * 3 $
mentre $ 10 = 2 * 5 $ ottenuto direttamente ..
Si può però provare che un numero $n!=0$ è composto se e solo se esitono due numeri naturali $r,s$ distinti dall'unità e da $n$ tali che $n=r cdot s$. La prova è banale e segue dalla definizione (se non ne sei convinto chiedi pure): la dimostrazione non la so fare .. me la mostri
?P.S.: .. vista l'ora , colgo l'occasione x darti la buonanotte ..
Mi pare più un gioco di parole.
Dici: un numero $k$ è primo sse lo posso scrivere unicamente come $k\cdot 1$.
Direi che va bene: questa definizione equivale a quella ordinaria di numero primo perché se si supponesse che un siffatto $k$ non fosse primo, allora esisterebbe un divisore non banale $h!=k,1$, per il quale esisterebbe a sua volta $j!=k,1$ di modo che $k=hj$, dunque direi che ci siamo.
Quello che dici dopo è esattamente il modo in cui vengono individuati i composti: un numero è composto sse non è primo; ma cosa significa che non è primo? Significa che esistono divisori non banali, per i quali il numero è riscrivibile come loro prodotto.
La differenza tra quello che dici te e la definizione "un numero è composto sse non è primo", a mio avviso è questa: con la definizione tua, abbiamo bisogno di qualcuno che ci dica che i numeri sono fattorizzabili in primi (teorema fondamentale), ma anche di qualcuno che ci dica che sono fattorizzabili in numeri non primi (e questo deriva dal teorema fondamentale), ovvero abbiamo prima bisogno del teorema fondamentale e poi possiamo parlare di composti; invece con la seconda definizione, prendiamo $NN$, togliamo $0$ e $1$, togliamo i primi, quelli che restano li chiamiamo composti.
Quel piccolo fatto che ti ho lasciato da dimostrare nel mio precedente post, poi, alla fine che fa? Ti dice che un composto è riscerivibile come prodotto di divisori non banali.
In buona sostanza: l'oggetto principale del topic era la costruzione di $NN$ a partire dai primi e abbiamo visto quel che abbiamo visto, poi siamo passati a questa parentela tra primi e composti e, mentre per la questione originale a mio avviso c'era una incompatibilità teorica tra la strada che proponevi e la strada ordinariamente percorsa, questa mi sembra più una questione rindondante, nel senso che si tratta solo di rigirare le definizioni.
La dimostrazione è questa: se esistono $r,s$ diversi da $1$ e $n$ tali che $n=r cdot s$, allora $r|n$ e $s|n$, quindi $n$ ammette divisori non banali e non è primo, quindi, per definizione, è composto; se $n$ non è primo, allora è composto: se non è primo i suoi divisori non si esauriscono con quelli banali, i.e. esite almeno un $r in NN$ diverso dall'unità e da $n$ tale che $r|n$, ma per definizione di divibilità, allora $exists s in NN$ tale che $n=r\cdot s$ ed $s$ non può essere l'unità, altrimenti $r=n$, e non può essere $n$, altrimenti $r=1$.
Dunque esiste $NN$, se si vuole si può costruire una modello di $NN$; in $NN$ si introducone tutte le belle nozioncine di somma, prodotto, divisone euclidea, divisibilità e si definisce l'insieme dei primi come una parte di $NN$ che gode di una certa proprietà, quello che resta togliendo i primi, lo $0$ e l'unità lo chiamiamo composto. Il fatto che i composti siano ottenibili mediante i primi non è un copyright dei composti ma è una proprietà di tutti i naturali (teorema fondamentale), quindi se li volessi definire come quei numeri ottenibili mediante prodotti di primi scavalcheresti il teorema fondamentale o comunque lo useresti implicitamente: il fatto di individuare i composti è teso più a separare i primi dai non primi.
Spero di aver risposto alle tue domande e di non avere detto sciocchezze.
P.S.
Ricambio, ma tanto io non domo mai
Dici: un numero $k$ è primo sse lo posso scrivere unicamente come $k\cdot 1$.
Direi che va bene: questa definizione equivale a quella ordinaria di numero primo perché se si supponesse che un siffatto $k$ non fosse primo, allora esisterebbe un divisore non banale $h!=k,1$, per il quale esisterebbe a sua volta $j!=k,1$ di modo che $k=hj$, dunque direi che ci siamo.
Quello che dici dopo è esattamente il modo in cui vengono individuati i composti: un numero è composto sse non è primo; ma cosa significa che non è primo? Significa che esistono divisori non banali, per i quali il numero è riscrivibile come loro prodotto.
La differenza tra quello che dici te e la definizione "un numero è composto sse non è primo", a mio avviso è questa: con la definizione tua, abbiamo bisogno di qualcuno che ci dica che i numeri sono fattorizzabili in primi (teorema fondamentale), ma anche di qualcuno che ci dica che sono fattorizzabili in numeri non primi (e questo deriva dal teorema fondamentale), ovvero abbiamo prima bisogno del teorema fondamentale e poi possiamo parlare di composti; invece con la seconda definizione, prendiamo $NN$, togliamo $0$ e $1$, togliamo i primi, quelli che restano li chiamiamo composti.
Quel piccolo fatto che ti ho lasciato da dimostrare nel mio precedente post, poi, alla fine che fa? Ti dice che un composto è riscerivibile come prodotto di divisori non banali.
In buona sostanza: l'oggetto principale del topic era la costruzione di $NN$ a partire dai primi e abbiamo visto quel che abbiamo visto, poi siamo passati a questa parentela tra primi e composti e, mentre per la questione originale a mio avviso c'era una incompatibilità teorica tra la strada che proponevi e la strada ordinariamente percorsa, questa mi sembra più una questione rindondante, nel senso che si tratta solo di rigirare le definizioni.
La dimostrazione è questa: se esistono $r,s$ diversi da $1$ e $n$ tali che $n=r cdot s$, allora $r|n$ e $s|n$, quindi $n$ ammette divisori non banali e non è primo, quindi, per definizione, è composto; se $n$ non è primo, allora è composto: se non è primo i suoi divisori non si esauriscono con quelli banali, i.e. esite almeno un $r in NN$ diverso dall'unità e da $n$ tale che $r|n$, ma per definizione di divibilità, allora $exists s in NN$ tale che $n=r\cdot s$ ed $s$ non può essere l'unità, altrimenti $r=n$, e non può essere $n$, altrimenti $r=1$.
Dunque esiste $NN$, se si vuole si può costruire una modello di $NN$; in $NN$ si introducone tutte le belle nozioncine di somma, prodotto, divisone euclidea, divisibilità e si definisce l'insieme dei primi come una parte di $NN$ che gode di una certa proprietà, quello che resta togliendo i primi, lo $0$ e l'unità lo chiamiamo composto. Il fatto che i composti siano ottenibili mediante i primi non è un copyright dei composti ma è una proprietà di tutti i naturali (teorema fondamentale), quindi se li volessi definire come quei numeri ottenibili mediante prodotti di primi scavalcheresti il teorema fondamentale o comunque lo useresti implicitamente: il fatto di individuare i composti è teso più a separare i primi dai non primi.
Spero di aver risposto alle tue domande e di non avere detto sciocchezze.
P.S.
"Susannap":
P.S.: .. vista l'ora , colgo l'occasione x darti la buonanotte ..
Ricambio, ma tanto io non domo mai
Cavolaccio mai hai risposto alle 03.38 .. allora non dormi mai davvero ?! 
.. non sarai stato mica impressionato dalla speciale sugli ufo ? te ci credi ?
Riguardo le sciocchezze , non ti preoccupare , quelle sono solo mie : tra me e te , ne detengo in modo esclusivo il copyright
io credevo che (ma questa è più filosofia che matematica) , all'inizio , nell'insieme N fossero prsente solo i numeri
primi , 0 e 1 ; poi tutti gli altri numeri sono stati creati-costruiti tramite (dai) primi .
Ero convinta di ciò perche leggendo un libro (ndr. Sulle spalle dei giganti) i primi venivano definti come gli atomi della matematica ,
i mattoni con cui sono fatti gli altri numeri ;
quindi mi sono detta : se ciò è vero , prima che essi iniziassero la costruzione degli altri numeri (ossia quelli non primi) , in N c'erano soltanto
i primi , 0 ed 1 ..
grazie davvero tanto WiZaRd , meriti un plauso
.. non sarai stato mica impressionato dalla speciale sugli ufo ? te ci credi ?
Riguardo le sciocchezze , non ti preoccupare , quelle sono solo mie : tra me e te , ne detengo in modo esclusivo il copyright
io credevo che (ma questa è più filosofia che matematica) , all'inizio , nell'insieme N fossero prsente solo i numeri
primi , 0 e 1 ; poi tutti gli altri numeri sono stati creati-costruiti tramite (dai) primi .
Ero convinta di ciò perche leggendo un libro (ndr. Sulle spalle dei giganti) i primi venivano definti come gli atomi della matematica ,
i mattoni con cui sono fatti gli altri numeri ;
quindi mi sono detta : se ciò è vero , prima che essi iniziassero la costruzione degli altri numeri (ossia quelli non primi) , in N c'erano soltanto
i primi , 0 ed 1 ..
grazie davvero tanto WiZaRd , meriti un plauso
Ma figurati, per così poco.
Troppo buona.
Comunque i primi sono considerati come gli atomi della matematica perché sono tali nella Teoria dei Numeri: qui sono fondamentali.
Saluti.
Troppo buona.
Comunque i primi sono considerati come gli atomi della matematica perché sono tali nella Teoria dei Numeri: qui sono fondamentali.
Saluti.
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