Assiomi di Peano, alcune domande...
Ciao a tutti, torno a scrivervi perché nello studio mi sono arenato su un punto che dovrebbe esser molto semplice in realtà: i postulati di Peano.
Provo a spiegarvi i miei dubbi...
Vi pongo il primo:
In questi assiomi vi son tre idee primitive: 0, concetto di numero naturale come classe dei numeri naturali e successore che mi vien da assimilare all'idea di una funzione che da un numero mi fa passare al successore anch'esso numero.
Da questi concetti articolando le 5 famose proposizioni si costruiscono i numeri naturali.
Il mio dubbio nasce qui: prendendo in considerazione l'idea di successore che usata nella proposizione "ogni numero naturale ha un numero naturale successore" mi permette di definire 1 come successore di 0 ("esiste un numero naturale "0""), e 2 come il successore di 1 e così via dicendo all'infinito, è come accettassi già di sapere qual è il successore di ogni numero, percui di fatto definisco la proposizione conoscendo i naturali. Infatti se non li conoscessi e dovessi definire cosa è un successore non potrei saperlo.
Non capisco dove sbaglio nell'intendere l'affermazione di Peano.
Provo a spiegarvi i miei dubbi...
Vi pongo il primo:
In questi assiomi vi son tre idee primitive: 0, concetto di numero naturale come classe dei numeri naturali e successore che mi vien da assimilare all'idea di una funzione che da un numero mi fa passare al successore anch'esso numero.
Da questi concetti articolando le 5 famose proposizioni si costruiscono i numeri naturali.
Il mio dubbio nasce qui: prendendo in considerazione l'idea di successore che usata nella proposizione "ogni numero naturale ha un numero naturale successore" mi permette di definire 1 come successore di 0 ("esiste un numero naturale "0""), e 2 come il successore di 1 e così via dicendo all'infinito, è come accettassi già di sapere qual è il successore di ogni numero, percui di fatto definisco la proposizione conoscendo i naturali. Infatti se non li conoscessi e dovessi definire cosa è un successore non potrei saperlo.
Non capisco dove sbaglio nell'intendere l'affermazione di Peano.
Risposte
@zaib,
dovresti provare ad astrarre un pochino... se già pensi al successore come una funzione tanto vale cambiare punto di vista (CLIC)*
[size=85]*=interessante, per quel poco che si legge, è quanto trovi scritto qui[/size]
dovresti provare ad astrarre un pochino... se già pensi al successore come una funzione tanto vale cambiare punto di vista (CLIC)*
[size=85]*=interessante, per quel poco che si legge, è quanto trovi scritto qui[/size]
Temo che il tuo problema sia che pensi alla funzione successore come:
$S(x) = x + 1$
E non sapendo cosa sia il termine 1 (non è stato ancora definito), non torna come si possano tirare fuori i numeri naturali.
Devi ragionare con la teoria assiomatica degli insiemi per capire il tutto.
Per l'assiome dell'esistenza degli insiemi elementari, esistono un insieme vuoto $phi$ (insieme senza elementi) e un insieme singoletto (insieme con un elemento), come ad esempio ${phi}$.
Inoltre, dati due insiemi $X$ e $Y$, supponi sempre di poter costruire l'insieme ${X, Y}$, ovvero nel caso di $phi$ e ${phi]$ puoi costruire l'insieme ${phi, {phi} }$.
Definendo ora lo zero dei numeri naturali come l'insieme vuoto:
$0 = phi$
se definisci la funzione successore come:
$S(x) = x uu {x} $
avrai:
$S(0) = 0 uu {0} = phi uu {phi} = {phi} = {0} $
che poi tu definisci uguale a uno, ovvero
$1 = S(0) = {0} $
andando avanti, hai
$S(1) = 1 uu {1} = {0} uu { {0} } = { 0, { 0 } } = { 0, 1 } = 2 $
$S(2) = 2 uu {2} = {0, 1} uu { {0, 1} } = { 0, 1, { 0, 1 } } = { 0, 1, 2 } = 3 $
etc etc.
$S(x) = x + 1$
E non sapendo cosa sia il termine 1 (non è stato ancora definito), non torna come si possano tirare fuori i numeri naturali.
Devi ragionare con la teoria assiomatica degli insiemi per capire il tutto.
Per l'assiome dell'esistenza degli insiemi elementari, esistono un insieme vuoto $phi$ (insieme senza elementi) e un insieme singoletto (insieme con un elemento), come ad esempio ${phi}$.
Inoltre, dati due insiemi $X$ e $Y$, supponi sempre di poter costruire l'insieme ${X, Y}$, ovvero nel caso di $phi$ e ${phi]$ puoi costruire l'insieme ${phi, {phi} }$.
Definendo ora lo zero dei numeri naturali come l'insieme vuoto:
$0 = phi$
se definisci la funzione successore come:
$S(x) = x uu {x} $
avrai:
$S(0) = 0 uu {0} = phi uu {phi} = {phi} = {0} $
che poi tu definisci uguale a uno, ovvero
$1 = S(0) = {0} $
andando avanti, hai
$S(1) = 1 uu {1} = {0} uu { {0} } = { 0, { 0 } } = { 0, 1 } = 2 $
$S(2) = 2 uu {2} = {0, 1} uu { {0, 1} } = { 0, 1, { 0, 1 } } = { 0, 1, 2 } = 3 $
etc etc.
Vi ringrazio per le risposte.
Per assurdo matematicamente lo capisco, ma è il concetto un po' più profondo che mi sfugge, ma vediamo se ho capito perché forse sbagliavo a intendere io: mi pareva gli assiomi servissero per creare i numeri veri e propri partendo da uno "zero" e una funzione successivo che mi dava in effetti il numero naturale successore; ma mi chiedevo qual è questa funzione successivo? In realtà ora i pare di capire che gli assiomi non definiscono i numeri natuali in sè ma sono delle "condizioni" che mi permettono di affermare se una certa "classe" come chiamava Peano posso chiamarla naturali (o isomorfi ad essa).
Quindi quando io definisco S(0)={0}=1 e S(1)={0,1}=2 ecc... in effetti io so già che a 1 seguirà 2 e a 2 seguirà 3 ecc. e verifico che sottostà a tali assiomi, ma questa regola di successione io la so perché? Come faccio a sapere che a 1 seguira proprio 2 e a 2 seuirà proprio 3? È un concetto innato?
Per assurdo matematicamente lo capisco, ma è il concetto un po' più profondo che mi sfugge, ma vediamo se ho capito perché forse sbagliavo a intendere io: mi pareva gli assiomi servissero per creare i numeri veri e propri partendo da uno "zero" e una funzione successivo che mi dava in effetti il numero naturale successore; ma mi chiedevo qual è questa funzione successivo? In realtà ora i pare di capire che gli assiomi non definiscono i numeri natuali in sè ma sono delle "condizioni" che mi permettono di affermare se una certa "classe" come chiamava Peano posso chiamarla naturali (o isomorfi ad essa).
Quindi quando io definisco S(0)={0}=1 e S(1)={0,1}=2 ecc... in effetti io so già che a 1 seguirà 2 e a 2 seguirà 3 ecc. e verifico che sottostà a tali assiomi, ma questa regola di successione io la so perché? Come faccio a sapere che a 1 seguira proprio 2 e a 2 seuirà proprio 3? È un concetto innato?
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