Assiomi di Peano
Ciao a tutti.
Vorrei porre una domanda sul terzo assioma (in particolare parlo dei tre assiomi seguenti:)
esiste 0 in N
la funzione detta successore è iniettiva ma non suriettiva non coprendo lo 0
dato X sottoinsieme di N è tale che se 0 sta in X, e per ogni n di X abbiamo che anche s(n) sta in X, allora X=N
stavo cercando di capire il senso sel terzo, esso leggo online che dovrebbe garantire che N sia il più piccolo insieme contenente lo 0 e il successore di ogni elemento senza che si assuma un N che abbia un elemento "intruso" al di fuori della sequenza infinita di successori dello zero.
Mi chiedo se per giustificare questa affermazione sia un ragionamento corretto il mio:
se infatti in N ci fosse un elemento (o più) escluso lo zero che non è "coperto" dalla funzione successore allora avrei possibilità di definire un sottoinsieme X di N escludento tale/i elemento/i e mantenendo tutti gli altri uguali nell'insieme X.
Ora, se X contiene appunto 0 e se ogni elemento ha un successore che sia ancora in X, allora per come l'ho definito (infatti è sottoinsieme di N) per il 3 assioma X=N. E quindi un tale elemento escluso dalla catena successori non esisterebbe in quanto il sottoinsieme (costruito escludendo un elemento) coincide con l'insieme di partenza.
In particolare però è che non sono certo sia corretto definire X sottoinsieme di N levando quell'ipotetico elemento di N non incluso nei successori di qualche altro elemento. il mio dubbio è che sia N che X sono infiniti e quindi non so se togliere da N un elemento per definire X mi garantisca che X è sottoinsieme di N (cioè se funziona come per gli insiemi finiti).
non so se sono stato chiarissimo, spero in qualche aiuto e vi ringrazio.
Vorrei porre una domanda sul terzo assioma (in particolare parlo dei tre assiomi seguenti:)
esiste 0 in N
la funzione detta successore è iniettiva ma non suriettiva non coprendo lo 0
dato X sottoinsieme di N è tale che se 0 sta in X, e per ogni n di X abbiamo che anche s(n) sta in X, allora X=N
stavo cercando di capire il senso sel terzo, esso leggo online che dovrebbe garantire che N sia il più piccolo insieme contenente lo 0 e il successore di ogni elemento senza che si assuma un N che abbia un elemento "intruso" al di fuori della sequenza infinita di successori dello zero.
Mi chiedo se per giustificare questa affermazione sia un ragionamento corretto il mio:
se infatti in N ci fosse un elemento (o più) escluso lo zero che non è "coperto" dalla funzione successore allora avrei possibilità di definire un sottoinsieme X di N escludento tale/i elemento/i e mantenendo tutti gli altri uguali nell'insieme X.
Ora, se X contiene appunto 0 e se ogni elemento ha un successore che sia ancora in X, allora per come l'ho definito (infatti è sottoinsieme di N) per il 3 assioma X=N. E quindi un tale elemento escluso dalla catena successori non esisterebbe in quanto il sottoinsieme (costruito escludendo un elemento) coincide con l'insieme di partenza.
In particolare però è che non sono certo sia corretto definire X sottoinsieme di N levando quell'ipotetico elemento di N non incluso nei successori di qualche altro elemento. il mio dubbio è che sia N che X sono infiniti e quindi non so se togliere da N un elemento per definire X mi garantisca che X è sottoinsieme di N (cioè se funziona come per gli insiemi finiti).
non so se sono stato chiarissimo, spero in qualche aiuto e vi ringrazio.
Risposte
Certo che lo è.
Moltissime grazie, certe volte quando "lavoro" su insiemi infiniti che non sono ancora stati ben definiti in algebra 1 (corso che sto preparando per l'esame) mi sembra sempre di muovermi con la paura di far danno e non so se i ragionamenti fatti siano del tutto corretti.
Grazie per aver verificato, ti ringrazio per la gentilezza.
Grazie per aver verificato, ti ringrazio per la gentilezza.
"pegasu":
Moltissime grazie, certe volte quando "lavoro" su insiemi infiniti che non sono ancora stati ben definiti in algebra 1 (corso che sto preparando per l'esame) mi sembra sempre di muovermi con la paura di far danno e non so se i ragionamenti fatti siano del tutto corretti.
Grazie per aver verificato, ti ringrazio per la gentilezza.
Preciso che la risposta precedente era alla domanda: $X$ è un sottoinsieme di $NN$?
La definizione di sottoinsieme (qual è?) prescinde dalla numerosità degli elementi, quindi finito od infinito non cambia nulla
Per il resto, l'idea dietro l'assioma è quella lì, cioè assicurare che $NN$ sia (in un certo senso, che è difficile da specificare all'inizio) "il più piccolo" insieme che contiene lo $0$ ed i suoi successivi.
Ciao gugo82 
Rispondo alla tua domanda: la definizione che so è quella che sfrutta l'implicazione materiale.
Diciamo sottoinsieme A di B se è reso vero il predicato Per ogni $x in A,$ $(x in A => x in B)$
Il fatto che mi lasciava un po' dubbioso è che su un insieme finito posso valutare la proposizione sulle varie x, mentre in uno infinito non posso "provare" la definizione su ogni x e questo mi lasciava dubbioso sulla definizione per gli infiniti essendo poco utilizzabile, diciamo.
Non ho capito però se mi stai dicendo che il resto del mio ragionamento fosse formalmente del tutto sbagliato
, a parte l'intuizione del principio.
Grazie.
Rispondo alla tua domanda: la definizione che so è quella che sfrutta l'implicazione materiale.
Diciamo sottoinsieme A di B se è reso vero il predicato Per ogni $x in A,$ $(x in A => x in B)$
Il fatto che mi lasciava un po' dubbioso è che su un insieme finito posso valutare la proposizione sulle varie x, mentre in uno infinito non posso "provare" la definizione su ogni x e questo mi lasciava dubbioso sulla definizione per gli infiniti essendo poco utilizzabile, diciamo.
Preciso che la risposta precedente era alla domanda: X è un sottoinsieme di N?
Non ho capito però se mi stai dicendo che il resto del mio ragionamento fosse formalmente del tutto sbagliato
, a parte l'intuizione del principio.Grazie.
"pegasu":
Il fatto che mi lasciava un po' dubbioso è che su un insieme finito posso valutare la proposizione sulle varie x, mentre in uno infinito non posso "provare" la definizione su ogni x e questo mi lasciava dubbioso sulla definizione per gli infiniti essendo poco utilizzabile, diciamo.
Basta che fai vedere che la definizione è vera per un generico elemento dell'insieme. Ad esempio
[tex]A:=\{\text{numeri interi positivi divisibili per }6\},B:=\{\text{numeri interi positivi pari}\}[/tex]
mostra che
[tex]A\subsetneqq B.[/tex]
vi ringrazio molto per gli spunti che mi state dando. Sono per me molto utili 
@413
Probabilmente farei così:
$x in A <=> 6|x <=> ∃q in ZZ : 6q=x$
mentre
$x in B <=> ∃k in ZZ : 2k=x <=> 2|x $
Ora: $6q=2(3q)=x$ quindi in effetti esiste un $q':=3q$ che è in $ZZ$
dunque l'essere in A implica l'esserlo in B.
tuttavia non è un sottoinsime improprio infatti:
oss: ${}!=A$
e A è diverso sicuramente da B poiché (controesempio):
sia $x=4$ 6 non divide 4 quindi 4 non è in A, tuttavia 2|4 e quindi 2 sta in B.
?
@413
"413":
Basta che fai vedere che la definizione è vera per un generico elemento dell'insieme. Ad esempio
[tex]A:=\{\text{numeri interi positivi divisibili per }6\},B:=\{\text{numeri interi positivi pari}\}[/tex]
mostra che
[tex]A\subsetneqq B.[/tex]
Probabilmente farei così:
$x in A <=> 6|x <=> ∃q in ZZ : 6q=x$
mentre
$x in B <=> ∃k in ZZ : 2k=x <=> 2|x $
Ora: $6q=2(3q)=x$ quindi in effetti esiste un $q':=3q$ che è in $ZZ$
dunque l'essere in A implica l'esserlo in B.
tuttavia non è un sottoinsime improprio infatti:
oss: ${}!=A$
e A è diverso sicuramente da B poiché (controesempio):
sia $x=4$ 6 non divide 4 quindi 4 non è in A, tuttavia 2|4 e quindi 2 sta in B.
?
È corretto modulo un errore di battitura nella prima formula ed il fatto che hai scritto [tex]\mathbb{Z}[/tex] invece di [tex]\mathbb{Z}_{>0}[/tex] in tutte le formule.
Ora, entrambi gli insiemi contengono infiniti elementi, eppure non hai avuto problemi a verificare la definizione.
[ot]Riguardo alla rimozione di un punto da un insieme, è una procedura talmente comune che ha pure un nome. Se [tex]X[/tex] è un insieme non vuoto, [tex]*[/tex] un suo punto, l'insieme costituito da un solo elemento
è detto singleton (singoletto, in italiano), mentre l'insieme ottenuto da [tex]X[/tex] rimuovendo [tex]*[/tex]
è detto punctured set (in italiano, forse , insieme bucato?!). Entrambi sono banalmente sottoinsiemi di [tex]X[/tex], indipendentemente dalla sua cardinalità.
Se hai già visto la definizione [tex]\epsilon-\delta[/tex] di limite di una funzione dovresti essere già entrato in confidenza con gli intorni "bucati".[/ot]
Ora, entrambi gli insiemi contengono infiniti elementi, eppure non hai avuto problemi a verificare la definizione.
[ot]Riguardo alla rimozione di un punto da un insieme, è una procedura talmente comune che ha pure un nome. Se [tex]X[/tex] è un insieme non vuoto, [tex]*[/tex] un suo punto, l'insieme costituito da un solo elemento
[tex]\{*\}[/tex]
è detto singleton (singoletto, in italiano), mentre l'insieme ottenuto da [tex]X[/tex] rimuovendo [tex]*[/tex]
[tex]X\setminus\{*\}[/tex]
è detto punctured set (in italiano, forse , insieme bucato?!). Entrambi sono banalmente sottoinsiemi di [tex]X[/tex], indipendentemente dalla sua cardinalità.
Se hai già visto la definizione [tex]\epsilon-\delta[/tex] di limite di una funzione dovresti essere già entrato in confidenza con gli intorni "bucati".[/ot]
Ora, entrambi gli insiemi contengono infiniti elementi, eppure non hai avuto problemi a verificare la definizione.
Certo avevo inteso il perché mi avevi portato a ragionare sull'esempio.
Chiaro! Grazie anche per le correzioni
gentilissimo
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