Assioma della scelta e continuità
In analisi e in topologia si usano spesso costruzioni del genere:
sia $U_1\supU_2\sup...U_n\sup...$ una successione annidata di parti di un insieme $X$. Scegliendo un $x_n$ in ciascuno di questi otteniamo una successione ${x_n}_{n\inNN}$.
Qui si usa implicitamente l'assioma della scelta?
(Gli $U_n$ non hanno in genere nulla che possa farci scegliere un punto in particolare. Per esempio possono essere una famiglia di aperti di uno spazio topologico non meglio identificato).
sia $U_1\supU_2\sup...U_n\sup...$ una successione annidata di parti di un insieme $X$. Scegliendo un $x_n$ in ciascuno di questi otteniamo una successione ${x_n}_{n\inNN}$.
Qui si usa implicitamente l'assioma della scelta?
(Gli $U_n$ non hanno in genere nulla che possa farci scegliere un punto in particolare. Per esempio possono essere una famiglia di aperti di uno spazio topologico non meglio identificato).
Risposte
se $U_i\subRR$ intervalli allora per come è costruito $RR$ puoi scegliere un elemento tipo un razionale e quinid non devi tirare in mezzo l'assioa della scelta. In generale, se non puoi arrivarci con una struttura dello spazio come nel caso particolare che ti ho detto, devi ricorrere all'assioma della scelta. almeno così direi a primo getto 
@fu^2
La tua affermazione è contraddittoria: se sceglia allora usi per forza l'AC.
Alla domanda si dissonance la risposta è sì. Si usa l'assioma di scelta anche quando si costruisce l'inversa destra di una applicazione suriettiva.
La tua affermazione è contraddittoria: se sceglia allora usi per forza l'AC.
Alla domanda si dissonance la risposta è sì. Si usa l'assioma di scelta anche quando si costruisce l'inversa destra di una applicazione suriettiva.
Allora propongo un problema: secondo voi è possibile dimostrare la seguente proposizione senza assioma della scelta?
Proposizione(*) Sia $X$ uno spazio metrico, $f:X\toRR$. $f$ è continua $iff$ per ogni successione convergente ${x_n}_{n=1}^infty$ in $X$ risulta $f(lim_{n\toinfty}x_n)=lim_{n\to infty}f(x_n)$.
Chiaramente il problema non è $=>$ ma $Leftarrow$. Con l'assioma della scelta io procederei per assurdo: se $f$ non fosse continua si potrebbe (col metodo di sopra) costruire una successione che contraddice l'ipotesi. E senza assioma della scelta si riesce a dimostrare lo stesso? Io sospetto di no.
___________________
(*) Naturalmente questa cosa è vera in contesti topologici più generali ma al momento non ce ne importa niente.
Proposizione(*) Sia $X$ uno spazio metrico, $f:X\toRR$. $f$ è continua $iff$ per ogni successione convergente ${x_n}_{n=1}^infty$ in $X$ risulta $f(lim_{n\toinfty}x_n)=lim_{n\to infty}f(x_n)$.
Chiaramente il problema non è $=>$ ma $Leftarrow$. Con l'assioma della scelta io procederei per assurdo: se $f$ non fosse continua si potrebbe (col metodo di sopra) costruire una successione che contraddice l'ipotesi. E senza assioma della scelta si riesce a dimostrare lo stesso? Io sospetto di no.
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(*) Naturalmente questa cosa è vera in contesti topologici più generali ma al momento non ce ne importa niente.
"dissonance":
Allora propongo un problema: secondo voi è possibile dimostrare la seguente proposizione senza assioma della scelta?
Proposizione(*) Sia $X$ uno spazio metrico, $f:X\toRR$. $f$ è continua $iff$ per ogni successione convergente ${x_n}_{n=1}^infty$ in $X$ risulta $f(lim_{n\toinfty}x_n)=lim_{n\to infty}f(x_n)$.
Chiaramente il problema non è $=>$ ma $Leftarrow$. Con l'assioma della scelta io procederei per assurdo: se $f$ non fosse continua si potrebbe (col metodo di sopra) costruire una successione che contraddice l'ipotesi. E senza assioma della scelta si riesce a dimostrare lo stesso? Io sospetto di no.
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(*) Naturalmente questa cosa è vera in contesti topologici più generali ma al momento non ce ne importa niente.
Secondo me ti sbagli: in questa dimostrazione non sei tu a scegliere i punti.
Fissa $x_0$ che non sia isolato. Se non fosse vero che $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ allora, NEGANDO la definizione
di limite, ottieni
$\exists V$ intorno di $f(x_0)$ tale che $\forall U$ intorno di $x_0$ $\exists X_U$ in $U$ per cui $f(x_U)\notin V$;
dato che $X$ e' metrico puoi prendere $U=B(x_o,1/n)$ per $n$ intero e quindi
$\exists V$ intorno di $f(x_0)$ tale che $\forall n$ in $NN$ $\exists X_n$ per cui $dist(x_n,x_0)<1/n$ e $f(x_n)\notin V$.
Dunque hai trovato (non scelto) una successione $(x_n)_n$ che tende a $x_0$ ma su cui non si ha $f(x_n)\to f(x_0)$.
Ti pare ?
Certo, sei stato chiarissimo. Non sono io a scegliere le $x_U$, è l'ipotesi che $f$ non sia continua a mostrarne l'esistenza. Questo poi porta ad una contraddizione con l'ipotesi.
Ed in effetti sto pensando che l'assioma della scelta uno lo usa in dimostrazioni costruttive, non per assurdo.
Esempio che diceva WiZaRd: una applicazione suriettiva ha inversa a destra. Ci serve l'assioma della scelta perché dobbiamo costruire l'inversa a destra, non mostrare che "se per assurdo l'inversa a destra non esistesse, allora capiterebbe la seguente contraddizione: ... ". Mi sbaglio?
Ed in effetti sto pensando che l'assioma della scelta uno lo usa in dimostrazioni costruttive, non per assurdo.
Esempio che diceva WiZaRd: una applicazione suriettiva ha inversa a destra. Ci serve l'assioma della scelta perché dobbiamo costruire l'inversa a destra, non mostrare che "se per assurdo l'inversa a destra non esistesse, allora capiterebbe la seguente contraddizione: ... ". Mi sbaglio?
il fatto che esiste $x_U in U$ non ti dice che ne esiste uno solo e quindi prendi quello, ti dice che ne esiste almeno uno e tra quelli che fanno al caso nostro ne scegliamo uno, quindi l'assioma della scelta secondo me lo usi, si potrebbe evitare se gli x "buoni" fossero finiti nel nostro U non mi pare questo il caso.
Un esempio che può essere chiarificatore è il teorema "Un unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile" questo è vero solo se vale l'assioma della scelta ed è un caso simile all'esempio precedente: abbiamo una famiglia $A_i$ di insiemi e sappiamo che esistono iniezioni da $A_i->NN$ per costruire la funzione iniettiva $uu A_i -> NN$ (lo facciamo con una sorta di induzione) dobbiamo fissare una mappa $A_i->NN$ precisa usando l'assioma della scelta.
tutto ciò secondo me
da prendere con le pinze quindi!
Un esempio che può essere chiarificatore è il teorema "Un unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile" questo è vero solo se vale l'assioma della scelta ed è un caso simile all'esempio precedente: abbiamo una famiglia $A_i$ di insiemi e sappiamo che esistono iniezioni da $A_i->NN$ per costruire la funzione iniettiva $uu A_i -> NN$ (lo facciamo con una sorta di induzione) dobbiamo fissare una mappa $A_i->NN$ precisa usando l'assioma della scelta.
tutto ciò secondo me
da prendere con le pinze quindi!
"ViciousGoblin":
dato che $X$ e' metrico puoi prendere $U=B(x_o,1/n)$ per $n$ intero e quindi
A me pare che AC sia applicato proprio quì.
"WiZaRd":
@fu^2
La tua affermazione è contraddittoria: se sceglia allora usi per forza l'AC.
No, se gli insiemi sono buonordinati (e i razionali lo sono, anche se non in modo canonico) non serve AC. Puoi, da ogni insieme, scegliere il minimo secondo il buon ordinamento.
credo che rubik abbia ragione 
mi sono fatto ingannare dall'idea che l'ipotesi assurda desse automativcamente la successione.
invece l'assurdo da' che per ogni $n$ l'insieme
$U_n={x:dist(x,x:0)<1/n, f(x)\notin V}$
e' diverso dal vuoto. A questo punto devo trovare la successione, cioe' una funzione $a:NN\to X$ tale che
$a(n)\in U_n$ per ogni $n$
e questo mi pare proprio ò'assioma della scelta (anche se in una versione "mild", in cui si chiede di fare un'infinita' numerabile di scelte)
Chiedo scusa a dissonance per averlo protato fuori dalla retta via....
Invece non ho capito l'obiezione di Wizard
mi sono fatto ingannare dall'idea che l'ipotesi assurda desse automativcamente la successione.
invece l'assurdo da' che per ogni $n$ l'insieme
$U_n={x:dist(x,x:0)<1/n, f(x)\notin V}$
e' diverso dal vuoto. A questo punto devo trovare la successione, cioe' una funzione $a:NN\to X$ tale che
$a(n)\in U_n$ per ogni $n$
e questo mi pare proprio ò'assioma della scelta (anche se in una versione "mild", in cui si chiede di fare un'infinita' numerabile di scelte)
Chiedo scusa a dissonance per averlo protato fuori dalla retta via....
Invece non ho capito l'obiezione di Wizard
"WiZaRd":
@fu^2
La tua affermazione è contraddittoria: se sceglia allora usi per forza l'AC.
e no, perchè l'assioma della scelta ti assicura l'esistenza e quindi la scelta di un rappresentante (detto in maniera esatta:"Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento").
Su $RR$ come dicevo e come ha precisato pic te puoi scegliere esplicitamente il rappresentante dimostrandone l'esistenza.
Questa operazione la potresti fare anche se ti dimentichi dell'assioma.
Ovvio che puoi ricorrere all'assioma, ma non è necessario, potresti benissiomo dimenticartene nel mio esempio. Sbaglio?
@fu^2 & pic : Ho qualche dubbio sulla vostra costruzione. Voi usate il fatto che i razionali siano bene ordinati: ma da dove ricavate questo buon ordinamento? Chiaramente non userete il well-ordering theorem di Zermelo(*) che è un festival dell'assioma della scelta. Forse usate il fatto che i razionali sono numerabili? Ma anche così, per ricavarne un buon ordinamento mi pare che ci sia da scegliere.
Ma no, definisci che ne so $a_1/b_1<_QQ a_2/b_2$ se
$(|a_1|+|b_1|)^2+|a_1|<(|a_2|+|b_2|)^2+|a_2|$, oppure
$(|a_1|+|b_1|)^2+|a_1|=(|a_2|+|b_2|)^2+|a_2|$ ma $a_1/a_2
Si vede facilmente che è un buon ordinamento.
$(|a_1|+|b_1|)^2+|a_1|<(|a_2|+|b_2|)^2+|a_2|$, oppure
$(|a_1|+|b_1|)^2+|a_1|=(|a_2|+|b_2|)^2+|a_2|$ ma $a_1/a_2
Si vede facilmente che è un buon ordinamento.
"ViciousGoblin":
Invece non ho capito l'obiezione di Wizard
Mo, niente... è uno dei soliti flashamenti mentali
@ pic: Ok. Quindi definisci un buon ordinamento ad hoc sui numeri razionali e questo ti permette di evitare l'assioma della scelta. E' chiaro.
_________________________________
Vorrei tornare indietro ad una cosa che non capisco: nelle ipotesi della proposizione precedente, prendiamo $x_0\inX$. Neghiamo la continuità di $f$ in $x_0$:
esiste $V$ intorno di $f(x_0)$ tale che per ogni $U$ intorno di $x_0$ $f(U)$ non è un sottoinsieme di $V$.
Ma che significa: $not[f(U)\subV]$? Io direi:
$not[f(U)\subV]=[\exists x\inU:f(x)\notinV]$. Se è così, allora siamo a cavallo: possiamo ragionare come dice ViciousGoblin e scansare l'assioma della scelta.
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Vorrei tornare indietro ad una cosa che non capisco: nelle ipotesi della proposizione precedente, prendiamo $x_0\inX$. Neghiamo la continuità di $f$ in $x_0$:
esiste $V$ intorno di $f(x_0)$ tale che per ogni $U$ intorno di $x_0$ $f(U)$ non è un sottoinsieme di $V$.
Ma che significa: $not[f(U)\subV]$? Io direi:
$not[f(U)\subV]=[\exists x\inU:f(x)\notinV]$. Se è così, allora siamo a cavallo: possiamo ragionare come dice ViciousGoblin e scansare l'assioma della scelta.
"dissonance":
@ pic: Ok. Quindi definisci un buon ordinamento ad hoc sui numeri razionali e questo ti permette di evitare l'assioma della scelta. E' chiaro.
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Vorrei tornare indietro ad una cosa che non capisco: nelle ipotesi della proposizione precedente, prendiamo $x_0\inX$. Neghiamo la continuità di $f$ in $x_0$:
esiste $V$ intorno di $f(x_0)$ tale che per ogni $U$ intorno di $x_0$ $f(U)$ non è un sottoinsieme di $V$.
Ma che significa: $not[f(U)\subV]$? Io direi:
$not[f(U)\subV]=[\exists x\inU:f(x)\notinV]$. Se è così, allora siamo a cavallo: possiamo ragionare come dice ViciousGoblin e scansare l'assioma della scelta.
Purtroppo non puoi fare a meno di AC.
Il fatto e' che da
(*) $\forall n\in NN$ $ \exists x : x \in U_n$
non puoi dedurre
(**) esiste una successione $(x_n)$ tale che $\forall n\in NN$ si ha $x_n\in U_n$
cioe' non puoi appiccicare l'indice $n$ a quel $x$ (che esiste) di cui parla (*) - ne hai troppi tra cui scegliere.
La possibilita' di passare da (*) a (**) e' proprio l'assioma della scelta.
Il problema sollevato da dissonance mi ha indotto a varie riflessioni (che non facevo da anni)
sull'assioma della scelta, per cercare di mettere d'accordo varie dubbi che hanno cominciato a girare
nella mia testa. Voglio farvene partecipi, forse aiutera' qualcuno che avesse dubbi analoghi.
Ho comunque sottoposto le mie conclusioni a un collega logico (e esperto di AC) che mi ha rassicurato
sul fatto che non sto sparando cavolate.
Comincio col dire che l'implicazione
$(U_i)_{i\in NN}$ e' una successione di aperti in $X$ e $\forall i\in NN$ si ha $U_i\ne\emptyset$
$\Rightarrow$
esiste $(x_i)_{i\in NN}$ successione in $X$ con la proprieta' $x_i\in U_i$ per ogni $i$ in $NN$
vale SENZA usare l'assioma della scelta nel caso in cui $X$ contenga un sottoinsieme $D$ numerabile e denso
(sto generalizzando il discorso di fu^2).
DIM. Sia $\sigma:NN\to D$ una bigezione. Qui potrebbe sembrare che si stia usando AC, in effetti devo scegliere
una tra le infinite enumerazioni di $D$; pero', dato che devo fare UNA SCELTA posso evitare AC: il fatto che
da un insieme non vuoto si possa estrarre un elemento e' una proprieta' di logica elementare (altrimenti si andrebbe
poco lontano ...).
Allora posso definire $k_i := "min"{k\in NN : \sigma(k)\in U_i}$ e porre $x_i := \sigma(k_i)$. QED
Quello che mi preme di mettere in evidenza e' che non serve poter costruire esplicitamente $\sigma$ (come peraltro si
riesce a fare nel caso dei razionali).
Invece, come diceva rubik, non si puo' dimostrare senza AC (numerabile) che unione numerabile di insiemi numerabili $A_i$ e'
numerabile, dato che, pur sapendo che per ogni $i$ esiste una bigezione da $NN$ a $A_i$ NON posso dedurne che esiste
una successione $(\sigma_i)_{i\in NN}$ di tali bigezioni, cosa che mi serve per costruire la bigezione sull'unione.
Dunque il teorema
Se $(A_i)_{i\in NN}$ e' una famiglia di insiemi tali che $\forall i \exists \sigma:NN\to A_i, \sigma " bigettiva"$ IMPLICA
$A:=\bigcup_{i\in NN}$ è numerabile
non vale senza AC . E' istruttivo notare che invece il teorema
Se $(A_i)_{i\in NN}$ e' una famiglia di insiemi e se $(\sigma_i)_{i\in NN}$ e' una famiglia di funzioni tali che
$\forall i \sigma_i:NN\to A_i, \sigma_i " bigettiva"$ ALLORA $A:=\bigcup_{i\in NN}$ è numerabile
e' comunque vero (UNIONE DI INSIEMI NUMERATI e' NUMERABILE!!!)
Spero di non essere stato impreciso (e in questioni come queste non e' facile)
sull'assioma della scelta, per cercare di mettere d'accordo varie dubbi che hanno cominciato a girare
nella mia testa. Voglio farvene partecipi, forse aiutera' qualcuno che avesse dubbi analoghi.
Ho comunque sottoposto le mie conclusioni a un collega logico (e esperto di AC) che mi ha rassicurato
sul fatto che non sto sparando cavolate.
Comincio col dire che l'implicazione
$(U_i)_{i\in NN}$ e' una successione di aperti in $X$ e $\forall i\in NN$ si ha $U_i\ne\emptyset$
$\Rightarrow$
esiste $(x_i)_{i\in NN}$ successione in $X$ con la proprieta' $x_i\in U_i$ per ogni $i$ in $NN$
vale SENZA usare l'assioma della scelta nel caso in cui $X$ contenga un sottoinsieme $D$ numerabile e denso
(sto generalizzando il discorso di fu^2).
DIM. Sia $\sigma:NN\to D$ una bigezione. Qui potrebbe sembrare che si stia usando AC, in effetti devo scegliere
una tra le infinite enumerazioni di $D$; pero', dato che devo fare UNA SCELTA posso evitare AC: il fatto che
da un insieme non vuoto si possa estrarre un elemento e' una proprieta' di logica elementare (altrimenti si andrebbe
poco lontano ...).
Allora posso definire $k_i := "min"{k\in NN : \sigma(k)\in U_i}$ e porre $x_i := \sigma(k_i)$. QED
Quello che mi preme di mettere in evidenza e' che non serve poter costruire esplicitamente $\sigma$ (come peraltro si
riesce a fare nel caso dei razionali).
Invece, come diceva rubik, non si puo' dimostrare senza AC (numerabile) che unione numerabile di insiemi numerabili $A_i$ e'
numerabile, dato che, pur sapendo che per ogni $i$ esiste una bigezione da $NN$ a $A_i$ NON posso dedurne che esiste
una successione $(\sigma_i)_{i\in NN}$ di tali bigezioni, cosa che mi serve per costruire la bigezione sull'unione.
Dunque il teorema
Se $(A_i)_{i\in NN}$ e' una famiglia di insiemi tali che $\forall i \exists \sigma:NN\to A_i, \sigma " bigettiva"$ IMPLICA
$A:=\bigcup_{i\in NN}$ è numerabile
non vale senza AC . E' istruttivo notare che invece il teorema
Se $(A_i)_{i\in NN}$ e' una famiglia di insiemi e se $(\sigma_i)_{i\in NN}$ e' una famiglia di funzioni tali che
$\forall i \sigma_i:NN\to A_i, \sigma_i " bigettiva"$ ALLORA $A:=\bigcup_{i\in NN}$ è numerabile
e' comunque vero (UNIONE DI INSIEMI NUMERATI e' NUMERABILE!!!)
Spero di non essere stato impreciso (e in questioni come queste non e' facile)
P.S. Ho scritto contemporaneamente a V.G. . Ma il suo post è molto più interessante ed è su quello che conviene ragionare: quindi nascondo il mio per non creare confusione.
Ho continuato a riflettere su AC e ho fatto qualche indagine. Se dissonance vuole approfondire la questione
c'e' un libro interessante (e relativamente "divulgativo"), con estratti consultabili in rete,
su tutte le implicazioni e controimplicazioni di AC e dei suoi fratelli/cugini.
Si tratta di "Axiom of choice" di Horst Herrlich, vedi:
http://books.google.it/books?id=JXIiGGm ... t&resnum=1
Per esempio la questione continuita' <-> continuita' sequenziale si puo' dimostrare senza AC se si va da DA UN APERTO
di $RR$ a $RR$. Nota che bisogna partire da un aperto mentre e' positivamente falso (senza AC) se si vuole
passare dalla continuita' sequenziale alla continuita' in un singolo punto.
La dimostrazione si trova nella parte consultabile del libro sopra (e anche altrove in rete) ed e' basata sul fatto che
$QQ$ e' denso $RR$ e $QQ$ e' numerabile. Peraltro io mi sono intestardito a rifare la dimostrazione cercando di ripetere
il ragionamento per assurdo che si farebbe usando $AC$. Vi riporto la mia dim. perche' (se e' giusta...) mette in evidenza
una sottile distinzione sul senso di "fare infinite scelte".
TEOREMA
Sia $X$ uno spazio metrico separabile: esiste $D\subset X$ tale che $D$ e' numerabile e $D$ e' denso in $X$.
Sia $A\subset X$ aperto e siano $f:A\to Y$ dove $Y$ e' un altro spazio metrico.
Allora $f$ e' continua in $A$ se e solo se $f$ e' sequenzialmente continua in $A$
DIM. (senza usare l'assioma della scelta)
Fissiamo innanzitutto una numerazione di $D$, cioe' una bigezione $\sigma:NN\to D$
1) Lemma preliminare: Se $x\in A$ esiste una successione $(x_n)$ di punti di $A$ tale che $x_n\to $x$.
Dim. Per ogni $n$ poniamo \(k_n:=\min \{k\in \mathbb{N}: \sigma(k) \in B(x,1/n)\cap A\}\); e' chiaro che $x_n:=\sigma(k_n)\to x$.
2) Supponiamo ora per assurdo che $f$ sia seq. continua ma non continua in $A$. Allora esiste un punto $x_0$ di $A$ tale che $f$ non e'
continua in $x_0$. Negando la definione di continuita' si trova che esiste $\epsilon>0$ tale che
$\forall n\in NN$ $U_n:={x\in A:dist_X(x,x_0)<1/n, dist_Y(f(x),f(x_0))\geq\epsilon}\ne \emptyset$
Affermo che per ogni $n$ in $NN$
$W_n:={x\in A\cap D:dist_X(x,x_0)<2/n, dist_Y(f(x),f(x_0))\geq\epsilon/2}\ne \emptyset$
INFATTI (*): fissiamo $n$ in $NN$; dato che $U_n\ne\emptyset$ possiamo prendere $x$ in $U_n$. Per il Lemma esiste $(x_k)$
in $A\cap D$ tale che $x_k\to x$. Quindi definitivamente $dist_X(x_k,x)<2/n$; inoltre, dalla continuita' sequenziale di
$f$ in $x$ possiamo ricavare che definitivamente $dist_Y f(x_k),f(x_0))>\epsilon/2$ e dunque definitivamente $x_k\in W_n$
che dunque e' diverso dal vuoto.
Allora prensiamo $h_n:="min"{h\in NN:\sigma(h)\in W_n}$; e' facile verificare che $x_n:=\sigma(h_n)\to x_0$, ma
$dist_Y f(x_n),f(x_0))>\epsilon/2$ e quindi $f$ non e' sequenzialmente continua in $x_0$ ASSURDO.
COMMENTO
Nel punto (*) fissato $n$ si sceglie un elemento $x$ nell'insieme $U_n$; cio' nonostante SECONDO ME non si usa l'assioma della
scelta dato che non si usa tale $x$ per definire una funzione $n\mapstox(n)$. Voi che ne pensate ?
Chiedero' comunque conferma al mio esperto, quando lo trovo.
c'e' un libro interessante (e relativamente "divulgativo"), con estratti consultabili in rete,
su tutte le implicazioni e controimplicazioni di AC e dei suoi fratelli/cugini.
Si tratta di "Axiom of choice" di Horst Herrlich, vedi:
http://books.google.it/books?id=JXIiGGm ... t&resnum=1
Per esempio la questione continuita' <-> continuita' sequenziale si puo' dimostrare senza AC se si va da DA UN APERTO
di $RR$ a $RR$. Nota che bisogna partire da un aperto mentre e' positivamente falso (senza AC) se si vuole
passare dalla continuita' sequenziale alla continuita' in un singolo punto.
La dimostrazione si trova nella parte consultabile del libro sopra (e anche altrove in rete) ed e' basata sul fatto che
$QQ$ e' denso $RR$ e $QQ$ e' numerabile. Peraltro io mi sono intestardito a rifare la dimostrazione cercando di ripetere
il ragionamento per assurdo che si farebbe usando $AC$. Vi riporto la mia dim. perche' (se e' giusta...) mette in evidenza
una sottile distinzione sul senso di "fare infinite scelte".
TEOREMA
Sia $X$ uno spazio metrico separabile: esiste $D\subset X$ tale che $D$ e' numerabile e $D$ e' denso in $X$.
Sia $A\subset X$ aperto e siano $f:A\to Y$ dove $Y$ e' un altro spazio metrico.
Allora $f$ e' continua in $A$ se e solo se $f$ e' sequenzialmente continua in $A$
DIM. (senza usare l'assioma della scelta)
Fissiamo innanzitutto una numerazione di $D$, cioe' una bigezione $\sigma:NN\to D$
1) Lemma preliminare: Se $x\in A$ esiste una successione $(x_n)$ di punti di $A$ tale che $x_n\to $x$.
Dim. Per ogni $n$ poniamo \(k_n:=\min \{k\in \mathbb{N}: \sigma(k) \in B(x,1/n)\cap A\}\); e' chiaro che $x_n:=\sigma(k_n)\to x$.
2) Supponiamo ora per assurdo che $f$ sia seq. continua ma non continua in $A$. Allora esiste un punto $x_0$ di $A$ tale che $f$ non e'
continua in $x_0$. Negando la definione di continuita' si trova che esiste $\epsilon>0$ tale che
$\forall n\in NN$ $U_n:={x\in A:dist_X(x,x_0)<1/n, dist_Y(f(x),f(x_0))\geq\epsilon}\ne \emptyset$
Affermo che per ogni $n$ in $NN$
$W_n:={x\in A\cap D:dist_X(x,x_0)<2/n, dist_Y(f(x),f(x_0))\geq\epsilon/2}\ne \emptyset$
INFATTI (*): fissiamo $n$ in $NN$; dato che $U_n\ne\emptyset$ possiamo prendere $x$ in $U_n$. Per il Lemma esiste $(x_k)$
in $A\cap D$ tale che $x_k\to x$. Quindi definitivamente $dist_X(x_k,x)<2/n$; inoltre, dalla continuita' sequenziale di
$f$ in $x$ possiamo ricavare che definitivamente $dist_Y f(x_k),f(x_0))>\epsilon/2$ e dunque definitivamente $x_k\in W_n$
che dunque e' diverso dal vuoto.
Allora prensiamo $h_n:="min"{h\in NN:\sigma(h)\in W_n}$; e' facile verificare che $x_n:=\sigma(h_n)\to x_0$, ma
$dist_Y f(x_n),f(x_0))>\epsilon/2$ e quindi $f$ non e' sequenzialmente continua in $x_0$ ASSURDO.
COMMENTO
Nel punto (*) fissato $n$ si sceglie un elemento $x$ nell'insieme $U_n$; cio' nonostante SECONDO ME non si usa l'assioma della
scelta dato che non si usa tale $x$ per definire una funzione $n\mapstox(n)$. Voi che ne pensate ?
Chiedero' comunque conferma al mio esperto, quando lo trovo.
fissato n possiamo prendere x in $U_n$ hai un solo insieme e non usi l'assioma della scelta, poco sopra però hai detto che $AA n$ si ha $W_n!=0$ quindi anche se un po' nascosto secondo me stai prendendo un $x in U_n AA n$ e hai bisogno dell'assioma della scelta.
"rubik":
fissato n possiamo prendere x in $U_n$ hai un solo insieme e non usi l'assioma della scelta, poco sopra però hai detto che $AA n$ si ha $W_n!=0$ quindi anche se un po' nascosto secondo me stai prendendo un $x in U_n AA n$ e hai bisogno dell'assioma della scelta.
Puo' darsi - quindi secondo te la dimostrazione di $\forall n$ $(U_n\ne \emptyset \Rightarrow W_n\ne \emptyset)$ richiede di "fare una selezione".
Non ne sono ancora convinto dato che non ho bisogno di costruire nessuna $(x_n)$ che stia in $U_n$ per ogni $n$ - la successione la trovo dopo, in $W_n$, una volta dimostrato che $W_n\ne \emptyset$ (in ogni caso mi riprometto di chiedere a un esperto).
Comunque ho cercato di fabbricare quest'esempio proprio per capire bene come funziona AC-
EDIT
esempio stupido: l'implicazione:
$\forall n (U_n\ne\emptyset\Rightarrow (\exists x: x\in U_n))$
usa l'assioma della scelta?
A intuito direi di no, a differenza di
$(\forall n U_n\ne\emptyset)\Rightarrow (\forall n (\exists x: x\in U_n))$
EDIT 2
Lasciate perdere "a differenza di..." scritto sopra, un po' troppo frettolosamente. Mi sembra chairo che se vale
$\forall n (U_n\ne\emptyset\Rightarrow (\exists x: x\in U_n))$ allora necessariamente $(\forall n U_n\ne\emptyset)\Rightarrow (\forall n (\exists x: x\in U_n))$.
Ripeto pero' che, A PARER MIO nessuno di questi usa l'assioma della scelta, che sarebbe invece necessario per dedurre
$\exists \sigma:NN\to X$ tale che $\forall n$ $\sigma(n)\in U_n$
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