Assioma della scelta.

[galles90]

Buonasera ragazzi c'è qualcuno che mi spiega in modo chiaro tutti i passaggi della assioma della scelta.
Se devo postare l'assioma ditemolo che lo riporto.

Grazie

[billyballo2123]

Cosa intendi per "passaggi dell'assioma della scelta"?

[vict85]

Gli assiomi sono proposizioni che si prendono per buone. Generalmente sono indimostrabili a partire da altri assiomi. In particolare questo è vero per l'assioma della scelta. Esistono comunque teoremi sulla equivalenza dell'assioma della scelta con altre proposizioni.

[galles90]

Buongiorno e grazie per avermi risposto .

Vi riporto le proposizioni che sono scritte sul mio libro con la dovuta dimostrazione giusto per esseri corretti e precisi invece le miei supposizioni e la parte che non capisco sono riportate dopo la dimostrazione :

Assioma

A) Se S un insieme non vuoto e F è un insieme della parti di S non vuote e a due a due disgunte, esiste un'applicazione f da f:F⟶S tale che f(X) appertenga a X per qualsiasi X di F
B) Se S è un insieme non vuoto, esiste un'applicazione:
f (S)∖∅⟶S
tale che f(X) appertenga a X per ogni parte non vuota X di S.

Dimostrazione:

Qualunque sia la parte non vuota \(\displaystyle X \) di \(\displaystyle S \), si consideri il prodotto cartesiano \(\displaystyle X \) x {\(\displaystyle X \)} quindi:

\(\displaystyle \mathfrak F \)\(\displaystyle = \){\(\displaystyle X \) x {\(\displaystyle X \)}\(\displaystyle | \)\(\displaystyle X \)\(\displaystyle \in \)\(\displaystyle P \)\(\displaystyle \left ( S \right ) \)}

è un insieme non vuoto di parti non vuote e a due a due disgiunte dell'insieme \(\displaystyle S \) x \(\displaystyle P \)\(\displaystyle \left ( S \right ) \), allora esiste un'applicazione \(\displaystyle f \) : \(\displaystyle \mathfrak F \)\(\displaystyle \to \)\(\displaystyle S \) x \(\displaystyle P \)\(\displaystyle \left ( S \right ) \) tale che \(\displaystyle f \)(\(\displaystyle X \) x {\(\displaystyle X \)}) appertiene \(\displaystyle X \) x {\(\displaystyle X \)} per qualsiasi parte non vuota di \(\displaystyle X \) di \(\displaystyle S \). Allora \(\displaystyle f \)(\(\displaystyle X \) x {\(\displaystyle X \)}) = (\(\displaystyle f \)'(\(\displaystyle X \)) , \(\displaystyle X \)) con \(\displaystyle f \)'(\(\displaystyle X \)) in \(\displaystyle X \) quindi

\(\displaystyle f \)' : \(\displaystyle X \) \(\displaystyle \in \) \(\displaystyle P \)\(\displaystyle \left ( S \right ) \) \ {\(\displaystyle \emptyset \)} \(\displaystyle \longrightarrow \) \(\displaystyle f \)' \(\displaystyle \in \) \(\displaystyle S \).

Pertanto si verifica la condizione richiesta.

La mia supposizione è :

per l'affermazione A) quindi abbiamo un insieme F i cui elementi sono sottoinsiemi dell'insieme S, pertanto abbiamo una funzione f che prendi elementi da F (i quali sono sottoinsiemi di S) e li manda in S, tale che per ogni elemento (sottoinsieme di S ) di F l'immagine appartiene all'insieme stesso di S.

Invece per l'affermazione B) quindi abbiamo un insieme dominio, costituito dai sottoinsieme non vuoti dell'insieme S, tale che l'immagine di un sottoinsieme del dominio appartiene al sottoinsieme stesso di S.

Pertanto le due affermazioni A e B sono equivalenti.

Ora la parte che non capisco perchè fa il prodotto cartesiano nella prima parte della dimostrazione e il senso di questo assioma.

Ciao