Assioma della coppia
chi mi sa dare una definizione formale ?P.S. si accettano anche link.
Risposte
A parole, dati due insiemi $A$ e $B$ esiste un insieme $C=\{A,B\}$ che contiene $A$ e $B$ come unici elementi (cioè la proposizione $X\in C$ è vera solo se $X=A\vee X=B$).
$\forall A\forall B\exists C, \forall X [(X\in C)\Leftrightarrow(X=A\vee X=B)]$
Come teorema che segue immediatamente da questo assioma c'è il fatto che dato un insieme $A$ esiste un insieme $S=\{A\}$ (singoletto) che contiene $A$ come unico elemento.
Unendo questi due fatti (assioma + teorema) riesci a dimostrare l'esistenza di oggetti del tipo $\{\{A\},\{A,B\}\}$.
$\forall A\forall B\exists C, \forall X [(X\in C)\Leftrightarrow(X=A\vee X=B)]$
Come teorema che segue immediatamente da questo assioma c'è il fatto che dato un insieme $A$ esiste un insieme $S=\{A\}$ (singoletto) che contiene $A$ come unico elemento.
Unendo questi due fatti (assioma + teorema) riesci a dimostrare l'esistenza di oggetti del tipo $\{\{A\},\{A,B\}\}$.
"Alfius":
$\forall A\forall B\exists C, \forall X [(X\in C)\Leftrightarrow(X=A\vee X=B)]$
ma cosi (C$in$A $vv$ C$in$B).
"DR1":
[quote="Alfius"]
$\forall A\forall B\exists C, \forall X [(X\in C)\Leftrightarrow(X=A\vee X=B)]$
ma cosi (C$in$A $vv$ C$in$B).
[/quote]No è corretto come ha scritto, anche se io avrei usato le parentesi... [tex](\forall A)(\forall B)(\exists C)(\forall D)(D \in C \Leftrightarrow (D=A \lor D=B))[/tex]
"DR1":
ma cosi (C$in$A $vv$ C$in$B).
La proposizione che ho dato non porta a ciò che hai scritto.
Se provi a spiegare passo passo cosa ti porta a tale (errata) conclusione possiamo provare a chiarire i dubbi.
"GundamRX91":
No è corretto come ha scritto, anche se io avrei usato le parentesi... [tex](\forall A)(\forall B)(\exists C)(\forall D)(D \in C \Leftrightarrow (D=A \lor D=B))[/tex]
resta il fatto che cosi [tex](D=A \lor D=B)[/tex] D (o qualsiasi altra lettera usi per indicarlo) D={A} $vv$ D={B}
P.S $vv$ vuole dire "o"
Non capisco cosa vuoi dire? Che [tex]\lor[/tex] sia il simbolo dell'or inclusivo lo so...
Comunque penso che si potrebbe definire anche in questo modo: [tex]C:=\{X | X=A \lor X=B\}=\{A,B\}[/tex].
Comunque penso che si potrebbe definire anche in questo modo: [tex]C:=\{X | X=A \lor X=B\}=\{A,B\}[/tex].
"GundamRX91":
Comunque penso che si potrebbe definire anche in questo modo: [tex]C:=\{X | X=A \lor X=B\}=\{A,B\}[/tex].
A patto di dare prima l'assioma di specificazione in effetti si può usare questa definizione molto più semplice da leggere e interpretare
"DR1":
resta il fatto che cosi [tex](D=A \lor D=B)[/tex] D (o qualsiasi altra lettera usi per indicarlo) D={A} $vv$ D={B}
P.S $vv$ vuole dire "o"
Fai attenzione che le scritture $D=A$ e $D=\{A\}$ sono profondamente diverse!!!
$A$ è un insieme che in questo contesto è generico e non sappiamo come è fatto (tipo non sappiamo quanti elementi ha, magari è vuoto, magari ne ha infiniti).
$\{A\}$ è un insieme con un solo elemento! L'unico elemento dell'insieme $\{A\}$ è l'insieme $A$.
Spero ciò chiarisca il dubbio.
Salve DR1,
come definizione và benissimo...
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Non capisco cosa vuoi dire? Che [tex]\lor[/tex] sia il simbolo dell'or inclusivo lo so...
Comunque penso che si potrebbe definire anche in questo modo: [tex]C:=\{X | X=A \lor X=B\}=\{A,B\}[/tex].
come definizione và benissimo...
Cordiali saluti
"Alfius":
A parole, dati due insiemi $A$ e $B$ esiste un insieme $C=\{A,B\}$ che contiene $A$ e $B$ come unici elementi (cioè la proposizione $X\in C$ è vera solo se $X=A\vee X=B$).
$\forall A\forall B\exists C, \forall X [(X\in C)\Leftrightarrow(X=A\vee X=B)]$
Come teorema che segue immediatamente da questo assioma c'è il fatto che dato un insieme $A$ esiste un insieme $S=\{A\}$ (singoletto) che contiene $A$ come unico elemento.
Unendo questi due fatti (assioma + teorema) riesci a dimostrare l'esistenza di oggetti del tipo $\{\{A\},\{A,B\}\}$.
$\forall A\forall B\exists C, \forall X [(X\in C)\Leftrightarrow(X=A\vee X=B)]$ da qui mi viene che C non è $C=\{A,B\}$, ma se (X=A)$^^$(X$!=$B)__ C = {X,A}, poi siccome X=A ,C = {A} (o X), se quindi(X$!=$A)$^^$(X=B) ,C = {X,B}, segue C = {B} (o X)
Salve DR1,
$\forall A\forall B\exists C, \forall X [(X\in C)\Leftrightarrow(X=A\vee X=B)]$ da qui mi viene che C non è $C=\{A,B\}$, ma se (X=A)$^^$(X$!=$B)__ C = {X,A}, poi siccome X=A ,C = {A} (o X), se quindi(X$!=$A)$^^$(X=B) ,C = {X,B}, segue C = {B} (o X) [/quote]
sforzati almeno un pò ad utilizzare la codifica in AsciiMathml o Latex.... il tuo insieme $C$ può essere visto come l'insieme ${X|X=A vv X=B}$... per il resto non capisco il testo, aspetto almeno la codifica...
Cordiali saluti
"DR1":
[quote="Alfius"]A parole, dati due insiemi $A$ e $B$ esiste un insieme $C=\{A,B\}$ che contiene $A$ e $B$ come unici elementi (cioè la proposizione $X\in C$ è vera solo se $X=A\vee X=B$).
$\forall A\forall B\exists C, \forall X [(X\in C)\Leftrightarrow(X=A\vee X=B)]$
Come teorema che segue immediatamente da questo assioma c'è il fatto che dato un insieme $A$ esiste un insieme $S=\{A\}$ (singoletto) che contiene $A$ come unico elemento.
Unendo questi due fatti (assioma + teorema) riesci a dimostrare l'esistenza di oggetti del tipo $\{\{A\},\{A,B\}\}$.
$\forall A\forall B\exists C, \forall X [(X\in C)\Leftrightarrow(X=A\vee X=B)]$ da qui mi viene che C non è $C=\{A,B\}$, ma se (X=A)$^^$(X$!=$B)__ C = {X,A}, poi siccome X=A ,C = {A} (o X), se quindi(X$!=$A)$^^$(X=B) ,C = {X,B}, segue C = {B} (o X) [/quote]sforzati almeno un pò ad utilizzare la codifica in AsciiMathml o Latex.... il tuo insieme $C$ può essere visto come l'insieme ${X|X=A vv X=B}$... per il resto non capisco il testo, aspetto almeno la codifica...
Cordiali saluti
garnak.olegovitc il testo è questo se $(X=A)∧(X≠B)$ ,$C = {X,A}$, poi siccome $X=A$ ,C = {A}; se quindi $(X≠A)$$^^$$(X=B)$ ,$C = {X,B}$, segue $C = {B}$; in entrambi i casi si ha $(C = {X,A})$ $vv$ ($C = {X,B})$ essendo $X=A$ nel primo caso e $X=B$ nel secondo, non vedo dov'è la coppia, infatti $C={A,A}$, $C={B,B}$, $C={X,X}$ non mi sembrano coppie di elementi diversi del tipo $C={A,B}$
DR1, credo che tu stia facendo confusione. Detto in parole semplici la scrittura $\{A,B\} ::= {X|X=A vv X=B}$ significa semplicemente che la proposizione $X\in\{A,B\}$ è vera solo se $X=A$ oppure $X=B$, la proposizione $X\in\{A,B\}$ è falsa in ogni altro caso.
Da $(X=A)\wedge(X\ne B)$ non segue che $C=\{X,A\}$, non è questa la definizione.
Se applichi la definizione, da $(X=A)\wedge(X\ne B)$ segue solamente che $A\in\{A,B\}$.
Da $(X=A)\wedge(X\ne B)$ non segue che $C=\{X,A\}$, non è questa la definizione.
Se applichi la definizione, da $(X=A)\wedge(X\ne B)$ segue solamente che $A\in\{A,B\}$.
Salve DR1,
ma dove è scritto che nella coppia $C={A,B}$ i due insiemi $A$ e $B$ devono essere $A!=B$? Poi mi pare che mischi le lettere per variabili e le lettere per costanti...
Scrivere ${A,A}={A}$ è giusto come è giusto scrivere anche ${A}={A,A}$... non sò se ho reso l'idea.
Che poi, si usa scrivere $C={A}$ se $C={A,B} ^^ A=B$
Ti ricordo anche che la def. di singoletto è dedotta da quella di coppia ordinata, al più potresti definire la coppia ordinata come l'unione di due singoletti..
Cordiali saluti
"DR1":
garnak.olegovitc il testo è questo se $(X=A)∧(X≠B)$ ,$C = {X,A}$, poi siccome $X=A$ ,C = {A}; se quindi $(X≠A)$$^^$$(X=B)$ ,$C = {X,B}$, segue $C = {B}$; in entrambi i casi si ha $(C = {X,A})$ $vv$ ($C = {X,B})$ essendo $X=A$ nel primo caso e $X=B$ nel secondo, non vedo dov'è la coppia, infatti $C={A,A}$, $C={B,B}$, $C={X,X}$ non mi sembrano coppie di elementi diversi del tipo $C={A,B}$
ma dove è scritto che nella coppia $C={A,B}$ i due insiemi $A$ e $B$ devono essere $A!=B$? Poi mi pare che mischi le lettere per variabili e le lettere per costanti...
Scrivere ${A,A}={A}$ è giusto come è giusto scrivere anche ${A}={A,A}$... non sò se ho reso l'idea.
Che poi, si usa scrivere $C={A}$ se $C={A,B} ^^ A=B$
Ti ricordo anche che la def. di singoletto è dedotta da quella di coppia ordinata, al più potresti definire la coppia ordinata come l'unione di due singoletti..
Cordiali saluti
Salve DR1,
ti segnalo alcuni appunti sempliciotti che spero tu legga:
http://users.dimi.uniud.it/~gianluca.go ... nsiemi.pdf
http://users.dimi.uniud.it/~gianluca.go ... azioni.pdf
Cordiali saluti
ti segnalo alcuni appunti sempliciotti che spero tu legga:
http://users.dimi.uniud.it/~gianluca.go ... nsiemi.pdf
http://users.dimi.uniud.it/~gianluca.go ... azioni.pdf
Cordiali saluti
Provo per un'altra strada,$(∀A,∀B,∀X)$($EE$$C$) | $(X∈C)⇔(X=A∨X=B)$ ,se $(X=A∨X=B)$ è falsa chi mi dice che $(X$$notin$$C$)$$ è vera ?
Te lo garantisce il simbolo di doppia implicazione ( $<=>$ ) che hai scritto.
"Alfius":
Te lo garantisce il simbolo di doppia implicazione ( $<=>$ ) che hai scritto.
ma se $\nexists$C questo non esclude che esistano due insiemi uguali $Z=E$.
Salve DR1,
io avrei scritto:
$(AA A,AA B(EE C(AAX(X∈C⇔X=A∨X=B))))$... per il resto non capisco!
Cordiali saluti
"DR1":
Provo per un'altra strada,$(∀A,∀B,∀X)$($EE$$C$) | $(X∈C)⇔(X=A∨X=B)$ ,se $(X=A∨X=B)$ è falsa chi mi dice che $(X$$notin$$C$)$$ è vera ?
io avrei scritto:
$(AA A,AA B(EE C(AAX(X∈C⇔X=A∨X=B))))$... per il resto non capisco!
Cordiali saluti
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