Assenza di isomorfismo su una successione esatta corta
Ho la seguente successione esatta corta: [tex]0\to A\to B\to C\to 0[/tex]. Chiamo gli omomorfismi [tex]f:A\to B[/tex] e [tex]g :B\to C[/tex]. Inoltre so per ipotesi che [tex]A[/tex] non è il gruppo banale. Devo dimostrare che [tex]g[/tex] non è necessariamente un isomorfismo. Io ho ragionato così:
Sono partito sfruttando l'esattezza della successione. Facilmente si trova che [tex]f[/tex] è iniettiva e [tex]g[/tex] suriettiva. Fatto ciò ho notato che essendo [tex]Ker(f)=0[/tex] ed [tex]A[/tex] non banale, allora [tex]Im(f)[/tex] dovrà essere non banale. Sfruttando l'esattezza della successione so che [tex]Im(f)=Ker(g)[/tex], così [tex]g[/tex] ha un nucleo non banale, ovvero non è iniettiva. Non essendo iniettiva non può di certo essere isomorfismo.
È corretto?
Sono partito sfruttando l'esattezza della successione. Facilmente si trova che [tex]f[/tex] è iniettiva e [tex]g[/tex] suriettiva. Fatto ciò ho notato che essendo [tex]Ker(f)=0[/tex] ed [tex]A[/tex] non banale, allora [tex]Im(f)[/tex] dovrà essere non banale. Sfruttando l'esattezza della successione so che [tex]Im(f)=Ker(g)[/tex], così [tex]g[/tex] ha un nucleo non banale, ovvero non è iniettiva. Non essendo iniettiva non può di certo essere isomorfismo.
È corretto?
Risposte
Sì, il ragionamento è corretto. 
[OT]:Scusami, come si chiama il corso in cui stai studiando le sequenze esatte?[/OT]
[OT]:Scusami, come si chiama il corso in cui stai studiando le sequenze esatte?[/OT]
Grazie per la risposta.
Le successioni esatte le sto studiante in un corso di Topologia Algebrica.
Le successioni esatte le sto studiante in un corso di Topologia Algebrica.
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