Aritmetica modulare con un po' di calcolo combinatorio

[NardyPdM]

Ciao a tutti Sono un nuovo membro Ho questa domanda che è un po' calcolo combinatorio e un po' aritmetica modulare quindi farò una domanda qui e una nella sezione di calcolo combinatorio

In quanti modi si può scrivere il numero
2961867515301112627340382741295402150813379531250000000000 = $2^10*3^11*5^16*7^45$
come prodotto di due numeri interi positivi?
Qual è il suo resto nella divisione per 13?

Per la seconda domanda quindi devo calcolare $2^10*3^11*5^16*7^45-= x mod13$
Per calcolare ho fatto un po' di trasformazioni:
noto che $3*5=15-=2 mod 13$ quindi
$2^10*3^11*5^16*7^45=(3*5)^11*2^10*5^5*7^45=2^11*2^10*5^5*7^45=2^21*5^5*7^45$
noto che $2*7=14-=1 mod 13$ quindi
$2^21*5^5*7^45=(2*7)^21*5^5*7^24=5^5*7^24$
noto che, per il piccolo teorema di Fermat $7^12-=1 mod 13$ quindi
$5^5*7^24=5^5*(7^12)^2=5^5$
noto che $5^4=625-=1 mod 13$ quindi
$5^5=5^4*5=5$
concludo quindi che $2^10*3^11*5^16*7^45-= x mod13\rArr5-=x mod13\rArr x=5$ e allora che il resto della divisione per 13 è 5

Ho fatto tutto bene? Purtroppo dato che il numero è gigantesco non posso controllare che sia giusto da me

[otta96]

Quello che hai fatto è giusto, per la prima domanda devi ragionare con la fattorizzazione, devi capire quanti fattori di $2,3,5,7$ prendere nel primo fattore, l'altro sarà univocamente determinato (rimane da controllare se qualche soluzione si ripete...).