Aritmetica elementare
Qualcuno saprebbe darmi una dimostrazione rigorosa di questo fatto:
siano $p_1,p_2,...,p_t$ dei numeri primi distinti, se $p_1p_2...p_t | a^n$ ($a,n \in mathbb(N^+)$) allora $p_1p_2...p_t | a$
Intuitivamente so che dovrei fattorizzare $a$ in fattori primi ognuno aventi il proprio esponente, poi quando faccio $a^n$, tutti gli esponenti delle potenze dei primi diventano multipli di n e qua mi blocco
[xdom="Martino"]Aggiunto "primi".[/xdom]
siano $p_1,p_2,...,p_t$ dei numeri primi distinti, se $p_1p_2...p_t | a^n$ ($a,n \in mathbb(N^+)$) allora $p_1p_2...p_t | a$
Intuitivamente so che dovrei fattorizzare $a$ in fattori primi ognuno aventi il proprio esponente, poi quando faccio $a^n$, tutti gli esponenti delle potenze dei primi diventano multipli di n e qua mi blocco
[xdom="Martino"]Aggiunto "primi".[/xdom]
Risposte
E' falso: per esempio $p_1=2$, $p_2=9$ sono distinti, $p_1p_2 = 18$ divide $6^2=36$ ma $18$ non divide $6$. Forse stai supponendo che i $p_i$ siano primi?
Sì mi sono dimenticato di scriverlo
Hai che tutti i $p_i$ dividono $a^n$ quindi tutti i $p_i$ dividono $a$ (perché se un primo divide un prodotto allora divide uno dei fattori: questo fatto segue dalla fattorizzazione unica). Quindi il loro prodotto divide $a$ (perché sono coprimi).
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