Aritmetica dei numeri interi
Il seguente testo di esercizio è stato preso dal libro: "Aritmetica e algebra" di Dikran Dikranjan e Maria Silvia Lucido.
Dimostrare che il numero $1/2+1/3+...+1/n$ non è mai intero.
Io ho pensato ad una dimostrazione per induzione (con la prima o la seconda forma) oppure ad una dimostrazione per assurdo però non arrivo da nessuna parte. Qualcuno sa come risolverlo??
Dimostrare che il numero $1/2+1/3+...+1/n$ non è mai intero.
Io ho pensato ad una dimostrazione per induzione (con la prima o la seconda forma) oppure ad una dimostrazione per assurdo però non arrivo da nessuna parte. Qualcuno sa come risolverlo??
Risposte
Suggerimento: dimostrare che il denominatore del
numero razionale $\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$ e' sempre pari.
numero razionale $\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$ e' sempre pari.
mmmmmh il tuo è un grandissimo aiuto: se quel denominatore fosse sempre pari, allora non può essere uguale ad 1 e di conseguenza quel numero non potrà mai essere intero. Per dimostrare che quel denominatore è sempre pari basta osservare che esso è uguale al minimo comune multiplo dei numeri da $2$ ad $n$, cioè dopo aver fattorizzato in fattori primi i numeri da $2$ ad $n$, si fa il prodotto di tutti i numeri primi distinti ognuno elevato alla potenza più alta che appare nelle fattorizzazioni. Essendo 2 un primo, apparirà sicuramente in tale minimo comune multiplo e quindi esso sarà sempre pari. Naturalmente dopo aver svolto i vari calcoli uno potrebbe pure chiedersi se tale minimo comune multiplo potrà semplificarsi con il numeratore ottenuto dopo tutte le varie somme eseguite, ma questo non potrà mai accadere perché abbiamo preso appunto il minimo comune multiplo come denominatore che mi garantisce che il massimo comune divisore tra numero e denominatore è uguale ad 1. Pensi che possa bastare questa dimostrazione discorsiva per portare a termine l'esercizio perfettamente??
\( \displaystyle \frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{12}{6} = 2 \).
\( \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6} = \frac{5}{3} \).
EDIT
Ovviamente, come fatto notare da jinsang sotto, la prima somma è sbagliata.
\( \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6} = \frac{5}{3} \).
EDIT
Ovviamente, come fatto notare da jinsang sotto, la prima somma è sbagliata.
Non sto dicendo che il denominatore di $frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$ e' sempre uguale al $mcm(2,\ldots,n)$.
Dico solo che e' pari.
Infatti, si ha che $frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{6}=\frac{29}{20}$ mentre $mcm(2,3,4,5,6)=60$.
Dico solo che e' pari.
Infatti, si ha che $frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{6}=\frac{29}{20}$ mentre $mcm(2,3,4,5,6)=60$.
Non c'entro niente con la discussione ma il problema mi sembrava carino quindi mi intrometto 
Non capisco questo suggerimento, in particolare la prima somma non è errata? Era un errore volontario per far notare qualcosa?
Grazie in anticipo
"G.D.":
\( \displaystyle \frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{12}{6} = 2 \).
\( \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6} = \frac{5}{3} \).
Non capisco questo suggerimento, in particolare la prima somma non è errata? Era un errore volontario per far notare qualcosa?
Grazie in anticipo
Hai ragione: la prima somma è errata. Errore mio.
In ogni caso l'intento mio era quello di far notare che la seguente affermazione
è sbagliata. O per lo meno è sbagliata nel modo in cui è stata formulata.
In ogni caso l'intento mio era quello di far notare che la seguente affermazione
"Pigreco2016":
Naturalmente dopo aver svolto i vari calcoli uno potrebbe pure chiedersi se tale minimo comune multiplo potrà semplificarsi con il numeratore ottenuto dopo tutte le varie somme eseguite, ma questo non potrà mai accadere perché abbiamo preso appunto il minimo comune multiplo come denominatore che mi garantisce che il massimo comune divisore tra numero e denominatore è uguale ad 1.
è sbagliata. O per lo meno è sbagliata nel modo in cui è stata formulata.
Ho detto io una fesseria quindi 
Dopo che ho mostrato che il denominatore è sempre pari, pure il numeratore potrebbe essere pari! Vorrei vedere come il denominatore sia ancora pari e anche coprimo con il numeratore: così posso essere sicuro di aver risolto totalmente l'esercizio.
Dopo che ho mostrato che il denominatore è sempre pari, pure il numeratore potrebbe essere pari! Vorrei vedere come il denominatore sia ancora pari e anche coprimo con il numeratore: così posso essere sicuro di aver risolto totalmente l'esercizio.
"G.D.":
O per lo meno è sbagliata nel modo in cui è stata formulata.
Ora però sarei curioso di sentire una formulazione differente del concetto sbagliato che io ho scritto
Sicuramente scegliere il minimo comune multiplo come denominatore per la somma di due frazioni mi porta ad avere un denominatore e numeratore coprimi tra loro. Se io al posto di scegliere il denominatore (per quanto riguarda il numero $1/2+1/3+...1/n$) uguale al minimo comune multiplo tra i numeri che vanno da $2$ ad $n$, scegliessi come denominatore questo numero ( pongo $mcm(a,b)=[a,b]$ ) : $[[[...[[[2,3],4],5],...],n]$, cioè al posto di fare la somma "tutta in una volta" eseguo le singole somme e mi calcolo ogni volta il nuovo minimo comune multiplo. Procedendo in questa maniera sicuramente il numeratore e denominatore "finali" saranno coprimi tra loro. Siete d'accordo???
"Pigreco2016":
Sicuramente scegliere il minimo comune multiplo come denominatore per la somma di due frazioni mi porta ad avere un denominatore e numeratore coprimi tra loro.
Forse questo vale soltanto nel caso in cui $a/b + c/d$ con $MCD(a,b)=1$ e $MCD(c,d)=1$
"Pigreco2016":
Sicuramente scegliere il minimo comune multiplo come denominatore per la somma di due frazioni mi porta ad avere un denominatore e numeratore coprimi tra loro. Se io al posto di scegliere il denominatore (per quanto riguarda il numero $1/2+1/3+...1/n$) uguale al minimo comune multiplo tra i numeri che vanno da $2$ ad $n$, scegliessi come denominatore questo numero ( pongo $mcm(a,b)=[a,b]$ ) : $[[[...[[[2,3],4],5],...],n]$, cioè al posto di fare la somma "tutta in una volta" eseguo le singole somme e mi calcolo ogni volta il nuovo minimo comune multiplo. Procedendo in questa maniera sicuramente il numeratore e denominatore "finali" saranno coprimi tra loro. Siete d'accordo???
Mi smentisco da solo, questa qua è una fesseria.
"Pigreco2016":
[quote="Pigreco2016"]Sicuramente scegliere il minimo comune multiplo come denominatore per la somma di due frazioni mi porta ad avere un denominatore e numeratore coprimi tra loro.
Forse questo vale soltanto nel caso in cui $a/b + c/d$ con $MCD(a,b)=1$ e $MCD(c,d)=1$[/quote]
Mi smentisco nuovamente da solo: $77/60 + 1/6 = 29/20$
Credo che con gli ultimi tuoi interventi tu abbia capito cosa intendevo dire.
Sì. Però non mi sembra mica di aver terminato la dimostrazione. Vorrei essere sicuro che il denominatore resta comunque pari anche dopo le semplificazioni che potrebbero capitare. Magari è una cosa automatica però non riesco a notarla. Se riesco a chiarirmi questo allora sono contento
Allora posso esporti la mia idea in maniera un po' grezza e magari mi dici che te ne pare.
Quello che vuoi dimostrare è $AA nin N sum_(2<=i <=n) 1/i$ non appartiene ad N.
Adesso considera questa uguaglianza: $sum_(2<=i <=n) 1/i=1/(n!)sum_(2<=i <=n) (n!)/i$
Ora il mio intento è mostrare che il denominatore è "più pari" del denominatore. Ovvero che semplificando tutti i fattori pari rimane al numeratore un dispari e al denominatore un pari; se avviene questa magia ho concluso dato che $(dispari)/(pari)$ non è mai intero.
Fortunatamente esiste una formula per determinare la più grande potenza di $2$ che divide $n!$, chiamiamo questa potenza $2^q$ allora: $q=sum_(1<=j<=n) |n/2^j|$ dove con $||$ indico la parte intera. In realtà sarebbe più opportuno mettere come limite destro per j un bel $log_2n$ ma funziona anche così; lascio a te sia la dimostrazione della formula che di questa considerazione.
Adesso chiamo $2^h$ la più grande potenza di 2 minore di n(che è diversa da $2^q$, in particolare minore), torno a $1/(n!)sum_(2<=i <=n) (n!)/i$ e lo scrivo come $((2^(q-h))sum_(2<=i <=n) (n!)/(i2^(q-h)))/(2^qx)$.
Concludo perché nella sommatoria ho esattamente un termine dispari (quello in cui i vale $2^h$) quindi la somma è dispari, mentre il denominatore rimane pari (semplifica con la potenza di due più esterna sul numeratore e te ne accorgi subito).
Quello che vuoi dimostrare è $AA nin N sum_(2<=i <=n) 1/i$ non appartiene ad N.
Adesso considera questa uguaglianza: $sum_(2<=i <=n) 1/i=1/(n!)sum_(2<=i <=n) (n!)/i$
Ora il mio intento è mostrare che il denominatore è "più pari" del denominatore. Ovvero che semplificando tutti i fattori pari rimane al numeratore un dispari e al denominatore un pari; se avviene questa magia ho concluso dato che $(dispari)/(pari)$ non è mai intero.
Fortunatamente esiste una formula per determinare la più grande potenza di $2$ che divide $n!$, chiamiamo questa potenza $2^q$ allora: $q=sum_(1<=j<=n) |n/2^j|$ dove con $||$ indico la parte intera. In realtà sarebbe più opportuno mettere come limite destro per j un bel $log_2n$ ma funziona anche così; lascio a te sia la dimostrazione della formula che di questa considerazione.
Adesso chiamo $2^h$ la più grande potenza di 2 minore di n(che è diversa da $2^q$, in particolare minore), torno a $1/(n!)sum_(2<=i <=n) (n!)/i$ e lo scrivo come $((2^(q-h))sum_(2<=i <=n) (n!)/(i2^(q-h)))/(2^qx)$.
Concludo perché nella sommatoria ho esattamente un termine dispari (quello in cui i vale $2^h$) quindi la somma è dispari, mentre il denominatore rimane pari (semplifica con la potenza di due più esterna sul numeratore e te ne accorgi subito).
Grandissima la tua dimostrazione 
Io invece ne ho trovata una per induzione con la quale concorda un mio collega. Ora la scrivo bene in un foglio e carico l'immagine con una scan perché a scriverla con tutti i simboli giusti ci impiegherei una vita
Io invece ne ho trovata una per induzione con la quale concorda un mio collega. Ora la scrivo bene in un foglio e carico l'immagine con una scan perché a scriverla con tutti i simboli giusti ci impiegherei una vita
In realtà la mia dimostrazione è un po' ridondante, in particolare tutta la parte dove dico come calcolare q è inutile
Bastava la seconda osservazione, ovvero che h è minore di q per ogni $n>=4$, e magari per completezza calcolare i primi due casi a mano (intendo $n=2, n=3$). Che per gli $n>=4$ si ha $q>h$ si vede benissimo perché si può scrivere $(n!)=2*3*x*2^h=3*x*2^(h+1)$, questo implica $2^(h+1)|2^q$ ed ecco fatto.
"jinsang":
Fortunatamente esiste una formula per determinare la più grande potenza di $2$ che divide $n!$, chiamiamo questa potenza $2^q$ allora: $q=sum_(1<=j<=n) |n/2^j|$ dove con $||$ indico la parte intera. In realtà sarebbe più opportuno mettere come limite destro per j un bel $log_2n$ ma funziona anche così; lascio a te sia la dimostrazione della formula che di questa considerazione.
Adesso chiamo $2^h$ la più grande potenza di 2 minore di n(che è diversa da $2^q$, in particolare minore),
Bastava la seconda osservazione, ovvero che h è minore di q per ogni $n>=4$, e magari per completezza calcolare i primi due casi a mano (intendo $n=2, n=3$). Che per gli $n>=4$ si ha $q>h$ si vede benissimo perché si può scrivere $(n!)=2*3*x*2^h=3*x*2^(h+1)$, questo implica $2^(h+1)|2^q$ ed ecco fatto.
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