Aritmetica
Qualche tempo fa ho trovato un problema che mi diceva di poter definire se il prodotto di tre numeri consecutivi siano divisibili per due e per tre.
Volevo sapere: dove è possibile approfondire le mie conoscenze per risolvere problemi inerenti a particolari proprietà dei numeri? Mi rendo conto solo dopo aver letto la soluzione, che la cosa è vera, ma non saprei come fare per rendere la mia mente in grado di capire a priori perchè ciò accade. E poi, problemi di questo tipo sono inerenti alla cosiddetta "aritmetica"? Cioè richiedono conoscenze specifiche di questo campo di studi?
Volevo sapere: dove è possibile approfondire le mie conoscenze per risolvere problemi inerenti a particolari proprietà dei numeri? Mi rendo conto solo dopo aver letto la soluzione, che la cosa è vera, ma non saprei come fare per rendere la mia mente in grado di capire a priori perchè ciò accade. E poi, problemi di questo tipo sono inerenti alla cosiddetta "aritmetica"? Cioè richiedono conoscenze specifiche di questo campo di studi?
Risposte
"turtle87":
Volevo sapere: dove è possibile approfondire le mie conoscenze per risolvere problemi inerenti a particolari proprietà dei numeri?
http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dei_numeri
"turtle87":
Mi rendo conto solo dopo aver letto la soluzione, che la cosa è vera, ma non saprei come fare per rendere la mia mente in grado di capire a priori perchè ciò accade.
A priori in che senso?
Se vuoi evitare la verifica diretta (magari con un'induzione) puoi facilmente intuire che tra tre numeri consecutivi ce ne sta 1 almeno pari, e 1 solo multiplo di tre.
"turtle87":
E poi, problemi di questo tipo sono inerenti alla cosiddetta "aritmetica"? Cioè richiedono conoscenze specifiche di questo campo di studi?
Guarda il link di sopra.
Ciao
"turtle87":
Qualche tempo fa ho trovato un problema che mi diceva di poter definire se il prodotto di tre numeri consecutivi siano divisibili per due e per tre.
Potresti ripetere la domanda in un italiano "comprensibile"? E in matematica "sensata"?
Forse ho intuito cosa chiedi e posso suggerirti qualcosa, ma vorrei essere prima sicuro delle tue esigenze.
@Russell
Mi sembra evidente che, data la tipologia della sua richiesta di aiuto, turtle87 non ha dimestichezza con la formulazione matematica di un problema.
Come ben sai la difficoltà a formulare correttamente un problema di carattere matematico è correlata anche alla capacità di scrivere tale problema usando un italiano corretto.
Qundi, esorto anch'io turtle87 a fare uno sforzo, ma allo stesso tempo ti invito a farlo tu, se turtle87 avesse delle difficoltà.
Mi sembra evidente che, data la tipologia della sua richiesta di aiuto, turtle87 non ha dimestichezza con la formulazione matematica di un problema.
Come ben sai la difficoltà a formulare correttamente un problema di carattere matematico è correlata anche alla capacità di scrivere tale problema usando un italiano corretto.
Qundi, esorto anch'io turtle87 a fare uno sforzo, ma allo stesso tempo ti invito a farlo tu, se turtle87 avesse delle difficoltà.
Beh, hai ragione, il fatto è che quando scrivo al pc per la paura che scatti la corrente o il sistema(cosa che incredibilment eè successa), "arronzo" i miei scritti, ancorchè comunque sia incapace di effettuare formulazioni sempre correttissime.
Con ordine: il problema dice di stabilire se il numero n(al cubo)-n sia divisibile per sei. Giochi simili credo riguardino la teoria dei numeri, ed in effetti io dovrei conoscere "a priori" (cioè prima di leggere la soluzione, ovviamente;-)) le proprietà di tre numeri consecutivi per cercare di impostare il problema e scomporre il binomio etc. etc. Per questo cercavo un campo di studi capace di fornirmi le capacità base per risolvere problemi del genere. Per carità, non sono un intuitivo geniale (a scuola a volte mi riusciva di avere delle intuizioni del genere, ma come scrivo in un altro post la matematica mi blocca), però penso che per problemi del genere serva avere prima qualche conoscenza specifica, magari sulle successioni, su numeri pari e dispari, su numeri logicamente appartenenti a qualche categoria, o, come nel caso in questione, su particolari proprietà che i numeri assumono in relazione a quelli precedenti e seguenti.
Comunque ti ringrazio per la tua gentilezza, e aspetto lumi per placare la solita ansia che la matematica provoca in me.
Con ordine: il problema dice di stabilire se il numero n(al cubo)-n sia divisibile per sei. Giochi simili credo riguardino la teoria dei numeri, ed in effetti io dovrei conoscere "a priori" (cioè prima di leggere la soluzione, ovviamente;-)) le proprietà di tre numeri consecutivi per cercare di impostare il problema e scomporre il binomio etc. etc. Per questo cercavo un campo di studi capace di fornirmi le capacità base per risolvere problemi del genere. Per carità, non sono un intuitivo geniale (a scuola a volte mi riusciva di avere delle intuizioni del genere, ma come scrivo in un altro post la matematica mi blocca), però penso che per problemi del genere serva avere prima qualche conoscenza specifica, magari sulle successioni, su numeri pari e dispari, su numeri logicamente appartenenti a qualche categoria, o, come nel caso in questione, su particolari proprietà che i numeri assumono in relazione a quelli precedenti e seguenti.
Comunque ti ringrazio per la tua gentilezza, e aspetto lumi per placare la solita ansia che la matematica provoca in me.
Ciao turtle 
Un ramo dell'aritmetica che ti può aiutare nei problemi del tipo di cui parli è l'aritmetica modulare (nel link di Steven è chiamata "teoria delle congruenze").
Trovo difficile spiegarti in due parole di cosa si tratta. Forse, se sei interessato, ti conviene cercare su google per farti un'idea. A mio avviso è lo strumento principale nei problemi di divisibilità (quelli in cui bisogna mostrare che qualcosa è o non è divisibile per qualcos'altro).
Un ramo dell'aritmetica che ti può aiutare nei problemi del tipo di cui parli è l'aritmetica modulare (nel link di Steven è chiamata "teoria delle congruenze").
Trovo difficile spiegarti in due parole di cosa si tratta. Forse, se sei interessato, ti conviene cercare su google per farti un'idea. A mio avviso è lo strumento principale nei problemi di divisibilità (quelli in cui bisogna mostrare che qualcosa è o non è divisibile per qualcos'altro).
"turtle87":
Qualche tempo fa ho trovato un problema che mi diceva di poter definire se il prodotto di tre numeri consecutivi siano divisibili per due e per tre. [...]
In generale, vale che il prodotto di $k$ naturali consecutivi, comunque scelti, è divisibile per $k!$ (il fattoriale di k). Dunque, in particolare, il prodotto di 3 naturali consecutivi, comunque scelti, è divisibile per 6. I.e., per 2 e per 3 contemporaneamente. La dimostrazione è elementare. Infatti, se $n,k \in NN_0 = \{0, 1, \ldots\}$, è noto che il binomiale $((n+k),(k))$ è un intero (positivo). D'altronde, $((n+k),(k)) = \frac{(n+1)(n+2) \ldots (n+k)}{k!}$. Dunque $k!$ divide (nell'aritmetica degli interi) il prodotto $(n+1)(n+2) \ldots (n+k)$. []
"Fioravante Patrone":
@Russell
Mi sembra evidente che, data la tipologia della sua richiesta di aiuto, turtle87 non ha dimestichezza con la formulazione matematica di un problema.
Come ben sai la difficoltà a formulare correttamente un problema di carattere matematico è correlata anche alla capacità di scrivere tale problema usando un italiano corretto.
Qundi, esorto anch'io turtle87 a fare uno sforzo, ma allo stesso tempo ti invito a farlo tu, se turtle87 avesse delle difficoltà.
Ok!
"turtle87":
Beh, hai ragione, il fatto è che quando scrivo al pc per la paura che scatti la corrente o il sistema(cosa che incredibilment eè successa), "arronzo" i miei scritti, ancorchè comunque sia incapace di effettuare formulazioni sempre correttissime.
Con ordine: il problema dice di stabilire se il numero n(al cubo)-n sia divisibile per sei. Giochi simili credo riguardino la teoria dei numeri, ed in effetti io dovrei conoscere "a priori" (cioè prima di leggere la soluzione, ovviamente;-)) le proprietà di tre numeri consecutivi per cercare di impostare il problema e scomporre il binomio etc. etc. Per questo cercavo un campo di studi capace di fornirmi le capacità base per risolvere problemi del genere. Per carità, non sono un intuitivo geniale (a scuola a volte mi riusciva di avere delle intuizioni del genere, ma come scrivo in un altro post la matematica mi blocca), però penso che per problemi del genere serva avere prima qualche conoscenza specifica, magari sulle successioni, su numeri pari e dispari, su numeri logicamente appartenenti a qualche categoria, o, come nel caso in questione, su particolari proprietà che i numeri assumono in relazione a quelli precedenti e seguenti.
Comunque ti ringrazio per la tua gentilezza, e aspetto lumi per placare la solita ansia che la matematica provoca in me.
Ciao turtle87, il problema da te proposto rientra nella teoria dei numeri proprio come dici. Questa parte della matematica si occupa delle poprietà dei numeri ed in particolare delle peculiarità degli interi (positivi e negativi, oltre allo zero ovviamente!). Come tu già scrivi, occorre un po' di preparazione per affrontare questi problemi ma l'esercizio in questo caso è davvero di grande aiuto! Questi quiz sono tipici delle Olimpiadi della Matematica e se ne trovano in ogni prova per tutti i livelli. Guardare le soluzioni, dopo aver provato a risolvere l'esercizio, è davvero molto utile. Per prima cosa ti segnalo quindi questo link:
http://olimpiadi.ing.unipi.it/index.php?archivioDownloads=1
I testi della fase provinciale (febbraio) contengono generalmente un problema dimostrativo proprio sulla teoria dei numeri. Questa branca della matematica si abbrevia anche con "tdn" per ovvi motivi.
Riguardo al materiale su cui studiare, ti segnalo queste tre dispense:
http://users.dimi.uniud.it/~mariasilvia.lucido/aritmetica.pdf
http://www.mat.uniroma2.it/~eal/EALinteri.pdf
http://www.silsismi.unimi.it/SILSISMI/Indirizzi/Indirizzi_doc/Fis_Inform_matem/silsis-numeri.pdf
Contengono anche informazioni sugli insiemi ed altro; tu puoi prendere solo quello che ti occorre.
Un'ottima risorsa è il sito del Prof. Gobbino per il traning olimpico. Ospita vari video registrati agli stages di preparazione alle Olimpiadi della Matematica. Alcuni di essi introducono ai vari argomenti, come la tdn. Ce ne sono che possono interessarti e questo è il link all'archivio:
http://www2.ing.unipi.it/~d9199/Home_Page/OT_Video.html
Per chi inizia a cimentarsi in questa materia sono fondamentali questi argomenti (da qui si parte):
-- principio d'induzione
-- divisibilità
-- congruenze
-- mcm e MCD
Riguardo al problema che ti assaliva...
Dire se il numero $n^3-n$ (con $n \in ZZ$ suppongo) è multiplo di $6$.
Prima soluzione
Notiamo $n^3-n=(n-1)n(n+1)$. Il problema chiede dunque se il prodotto di tre interi consecutivi è multiplo di $6$. Questo è sempre vero, giacchè tra tre numeri consecutivi vi è sempre almeno un numero pari ed esattamente un multiplo di tre.
Seconda soluzione (per induzione)
Non è restrittivo supporre $n>=0$ giacchè se $n<0$ sarà $n^3-n=-((-n)^3-(-n))$ e $-n>0$, quindi possiamo ripetere il ragionamento che stiamo per fare (il segno è ininfluente sull' "essere multiplo").
Per $n=0$ abbiamo $n^3-n=0=0 \times 6$
Supponendo $n^3-n=6k$ per un intero $k$ si ottiene facilmente che anche $(n+1)^3-(n+1)=(6k+1)^3-(6k+1)=...$ è multiplo di 6.
Come noti questi esercizi richiedono di saper gestire i concetti di "multiplo", "divisibile", etc. Occorre pertanto averne chiare definizioni. Cosa significa ad esempio dire che, se $a,b$ sono numeri interi, $a$ è multiplo di $b$? Significa semplicemente che esiste un intero $k$ tale che $a=kb$: questa definizione è gestibilissima, oltre che ragionevole. Infatti è ad esempio possibile sostituire $a$ con $kb$ ogni qualvolta risulti comodo. Dalla definizione si deduce inoltre che zero è multiplo di qualsiasi intero e che ogni intero è multiplo di se stesso.
Altro esempio: cosa significa dire che un intero $a$ è dispari, oppure pari? Si dice che $a$ è dispari se esiste un intero $k$ tale che $a=2k-1$; si dice che $a$ è pari se esiste un intero $k$ tale che $a=2k$. In entrambi i casi si dimostra facilmente che tale $k$ è unico e che un intero o è pari o è dispari! Per evitare confusione, segnalo che alcuni definiscono $a$ dispari se esiste un intero $k$ tale che $a=2k+1$. Si dimostra immediatamente che questa definizione è del tutto equivalente a quella che ti ho dato (se parliamo di interi!). Esistono altre definizioni equivalenti in cui capita d'imbattersi: nulla di tragico ma bisogna abituarsi.
Due facili esercizietti per riscaldarsi...
Esercizio: prova a dimostrare che la somma di due interi dispari è sempre un intero pari, che la somma di un pari con un dispari è dispari e che la somma di due pari è pari (in accordo con le definizioni!)
Esercizio: se un intero $a$ è dispari allora anche $-a$ lo è: dimostrarlo.
Puoi postare qui le soluzioni e ti verrà risposto.
In bocca al lupo! Ciao!
Anche se la discussione è vecchia, l'ho ripresa con piacere.
Risolvo gli esercizi.
1)
Primo caso: somma di due numeri dispari.
Dato un numero n dispari, deve essere aggiunto ad esso un numero pari per ottenerne un altro dispari: quindi il secondo numero dispari è n+2.
La somma tra i due numeri può essere espressa così: n+n+2= 2n+2= 2(n+1). Il numero è divisibile per due.
Analogamente si dimostrano gli altri assunti.
2) io considero il numero -a come il prodotto di (-1) e a. nè l'uno nè l'altro sono divisibili in Z per due, quindi il numero prodotto dei due numeri è dispari.
Piuttosto, un numero dispari è tale se non è divisibile per due in N o in Z? Cioè, un numero tipo -2 può essere considerato pari?
Risolvo gli esercizi.
1)
Primo caso: somma di due numeri dispari.
Dato un numero n dispari, deve essere aggiunto ad esso un numero pari per ottenerne un altro dispari: quindi il secondo numero dispari è n+2.
La somma tra i due numeri può essere espressa così: n+n+2= 2n+2= 2(n+1). Il numero è divisibile per due.
Analogamente si dimostrano gli altri assunti.
2) io considero il numero -a come il prodotto di (-1) e a. nè l'uno nè l'altro sono divisibili in Z per due, quindi il numero prodotto dei due numeri è dispari.
Piuttosto, un numero dispari è tale se non è divisibile per due in N o in Z? Cioè, un numero tipo -2 può essere considerato pari?
Entrambe le dimostrazioni sono errate. Al di là di questo, avevo proposto quei due esercizi perchè possono essere risolti sulla base delle sole definizioni che io ti ho fornito. Tu hai tirato in ballo definizioni ed asserzioni che non sono debitamente fondate
Tu scrivi...
"Dato un numero n dispari, deve essere aggiunto ad esso un numero pari per ottenerne un altro dispari"
e chi l'ha detto?? Se vuoi usare questo fatto devi dimostrarlo.
Altra cosa...
"quindi il secondo numero dispari è n+2"
l'esercizio richiedeva di dimostrare che la somma di due dispari qualsiasi è pari: tu hai dimostrato che la somma di due dispari consecutivi è pari. Non è chiaramente la stessa cosa.
Poi dici...
"quindi il numero prodotto dei due numeri è dispari"
anche questo non è stato fornito: devi dimostrarlo se vuoi utilizzarlo!!
Quanto alla domanda...
"Cioè, un numero tipo -2 può essere considerato pari?"
il secondo esercizio ti dice che se $a$ è pari anche $-a$ lo è. Ammetterai di certo che $2$ è pari. Segue che anche $-2$ lo è: non è convenzione, è la per la definizione scelta!!!!!
Infine...
"Piuttosto, un numero dispari è tale se non è divisibile per due in N o in Z?"
Di $NN$ non si è parlato. Definiamo pari e dispari direttamente in $ZZ$. La definizione che ho fornito di numero pari,
si dice che a è pari se esiste un intero $k$ tale che $a=2k$
dice esattamente che i pari sono i numeri divisibili per due, una volta definito il concetto di divisibilità.
Al contrario la definizione data per numero dispari non dice direttamente che i numeri dispari sono tutti e soli i numeri non divisibili per due. Sta di fatto che è così. Chiaramente devi dimostrarlo! Ti basta dimostrare che un numero o è pari (equiv. divisibile per due) o è dispari. In questo modo la disparità diviene il "non essere divisibile per due".
SOLUZIONI
Esercizio 1
Se $a$ e $b$ ono dispari esistono $h,k in ZZ$ tali che $a=2h-1, b=2k-1$ (è esattamente la definizione!!) Allora $a+b=2(h+k-1)$. Essendo $h+k-1$ intero (la somma è operazione interna) si ha la tesi (cioè abbiamo trovato un intero tale che....)
Se $a$ è pari e $b$ dispari allora esistono $h,k$ tali che $a=2h, b=2k-1$. Segue $a+b= 2(h+k)-1$ e questa è la forma dei numeri dispari DELLA DEFINIZIONE!!!!!
Infine $2k+2h=2(k+h)$, ossia la somma di due pari è pari, sempre in accordo con la definizione! (scusa se lo ribadisco, ma è importante capire che in matematica ci si deve rifare strettamente agli strumenti noti. Tutti gli altri vanno conquistati.)
Esercizio 2
L'ipotesi dice, per la definizione, che esiste $k$ tale che $a=2k$. Per dimostrare che $-a$ è pari dobbiamo far vedere che soddifa la definizione di "numero pari", e cioè che esiste un intero $h$ tale che $-a=2h$. Basta scegliere $h=-k$ (che è intero) per ottenere $-a=-2k=2h$.
P.S. Se $a in ZZ$ si dice che $b$ è opposto di $a$ se $a+b=b+a=0$. Supponiamo che $b,c$ siano opposti di $a$. Allora $b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=0+c=c$, cioè $b=c$. Deduciamo che esiste un solo opposto di $a$: chiamiamolo l'opposto di $a$ e indichiamolo con $-a$. Questa è la definizione di $-a$. E' pur vero che $-a=(-1)a$... dimostrarlo è meno immediato... questo fatto sussiste in tutti gli anelli e $(ZZ,+,cdot)$ lo è.
Tu scrivi...
"Dato un numero n dispari, deve essere aggiunto ad esso un numero pari per ottenerne un altro dispari"
e chi l'ha detto?? Se vuoi usare questo fatto devi dimostrarlo.
Altra cosa...
"quindi il secondo numero dispari è n+2"
l'esercizio richiedeva di dimostrare che la somma di due dispari qualsiasi è pari: tu hai dimostrato che la somma di due dispari consecutivi è pari. Non è chiaramente la stessa cosa.
Poi dici...
"quindi il numero prodotto dei due numeri è dispari"
anche questo non è stato fornito: devi dimostrarlo se vuoi utilizzarlo!!
Quanto alla domanda...
"Cioè, un numero tipo -2 può essere considerato pari?"
il secondo esercizio ti dice che se $a$ è pari anche $-a$ lo è. Ammetterai di certo che $2$ è pari. Segue che anche $-2$ lo è: non è convenzione, è la per la definizione scelta!!!!!
Infine...
"Piuttosto, un numero dispari è tale se non è divisibile per due in N o in Z?"
Di $NN$ non si è parlato. Definiamo pari e dispari direttamente in $ZZ$. La definizione che ho fornito di numero pari,
si dice che a è pari se esiste un intero $k$ tale che $a=2k$
dice esattamente che i pari sono i numeri divisibili per due, una volta definito il concetto di divisibilità.
Al contrario la definizione data per numero dispari non dice direttamente che i numeri dispari sono tutti e soli i numeri non divisibili per due. Sta di fatto che è così. Chiaramente devi dimostrarlo! Ti basta dimostrare che un numero o è pari (equiv. divisibile per due) o è dispari. In questo modo la disparità diviene il "non essere divisibile per due".
SOLUZIONI
Esercizio 1
Se $a$ e $b$ ono dispari esistono $h,k in ZZ$ tali che $a=2h-1, b=2k-1$ (è esattamente la definizione!!) Allora $a+b=2(h+k-1)$. Essendo $h+k-1$ intero (la somma è operazione interna) si ha la tesi (cioè abbiamo trovato un intero tale che....)
Se $a$ è pari e $b$ dispari allora esistono $h,k$ tali che $a=2h, b=2k-1$. Segue $a+b= 2(h+k)-1$ e questa è la forma dei numeri dispari DELLA DEFINIZIONE!!!!!
Infine $2k+2h=2(k+h)$, ossia la somma di due pari è pari, sempre in accordo con la definizione! (scusa se lo ribadisco, ma è importante capire che in matematica ci si deve rifare strettamente agli strumenti noti. Tutti gli altri vanno conquistati.)
Esercizio 2
L'ipotesi dice, per la definizione, che esiste $k$ tale che $a=2k$. Per dimostrare che $-a$ è pari dobbiamo far vedere che soddifa la definizione di "numero pari", e cioè che esiste un intero $h$ tale che $-a=2h$. Basta scegliere $h=-k$ (che è intero) per ottenere $-a=-2k=2h$.
P.S. Se $a in ZZ$ si dice che $b$ è opposto di $a$ se $a+b=b+a=0$. Supponiamo che $b,c$ siano opposti di $a$. Allora $b=b+0=b+(a+c)=(b+a)+c=0+c=c$, cioè $b=c$. Deduciamo che esiste un solo opposto di $a$: chiamiamolo l'opposto di $a$ e indichiamolo con $-a$. Questa è la definizione di $-a$. E' pur vero che $-a=(-1)a$... dimostrarlo è meno immediato... questo fatto sussiste in tutti gli anelli e $(ZZ,+,cdot)$ lo è.
@Russell
Beh, grazie "da parte del forum"
Ciao
Beh, grazie "da parte del forum"
Ciao
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