Area di un segnale discreto periodico
Ciao a tutti!
Ho aperto questo topic per trovare ad una risposta ad un quesito di teoria dei segnali, che riguarda l'area di un segnale periodico a tempo discreto (cioè di una sequenza periodica "bilatera").
Tale sequenza è definita come:
$x(n) = \sum_{k=-\infty}^(+\infty) (-1)^k\delta(n-2k)$
dunque può essere scritta come:
$x(n) = cos(n\pi/2)$ (a meno di miei errori madornali!)
La definizione di "Area di un segnale" riportata dai testi che ho consultato è:
$A_x = \lim_{K \to \infty} A_(x,K) = \lim_{K \to \infty} \sum_{n=-K}^(+K) x(n)$
non converge per il segnale $x(n)$ in esame.
Mi chiedevo allora se esiste un risultato, che non sono stato in grado di trovare sui miei testi, circa l'area di un segnale discreto periodico, per il calcolo dell'area a partire dall'area di un suo segnale generatore. In questo caso, un generatore $x_g(n)$ di durata $N_0 = 4$, periodo fondamentale del segnale $x(n)$, ha area nulla.
Si può estendere questo risultato all'area del segnale ottenuto come replica periodica del generatore, asserendo che ha area nulla? (il che sembrerebbe in accordo col risultato intuitivo per cui l'area di un segnale periodico deve essere o nulla o infinita).
Cioè, è lecito scrivere:
$A_x = \lim_{K \to \infty} \sum_{n=-K}^(+K) [ \sum_{h=-\infty}^(+\infty) x_(g)(n - hN_0)] = \sum_{h=-\infty}^(+\infty) [ \lim_{K \to \infty} \sum_{n=-K}^(+K) x_(g)(n - hN_0)]$
invertendo le sommatorie? e dove posso trovare qualche altra informazione al proposito?
Grazie per l'attenzione, e scusate se parte del quesito può essere stata mal posta (non ho conoscenze abbastanza approfondite di matematica teorica).
Ho aperto questo topic per trovare ad una risposta ad un quesito di teoria dei segnali, che riguarda l'area di un segnale periodico a tempo discreto (cioè di una sequenza periodica "bilatera").
Tale sequenza è definita come:
$x(n) = \sum_{k=-\infty}^(+\infty) (-1)^k\delta(n-2k)$
dunque può essere scritta come:
$x(n) = cos(n\pi/2)$ (a meno di miei errori madornali!)
La definizione di "Area di un segnale" riportata dai testi che ho consultato è:
$A_x = \lim_{K \to \infty} A_(x,K) = \lim_{K \to \infty} \sum_{n=-K}^(+K) x(n)$
non converge per il segnale $x(n)$ in esame.
Mi chiedevo allora se esiste un risultato, che non sono stato in grado di trovare sui miei testi, circa l'area di un segnale discreto periodico, per il calcolo dell'area a partire dall'area di un suo segnale generatore. In questo caso, un generatore $x_g(n)$ di durata $N_0 = 4$, periodo fondamentale del segnale $x(n)$, ha area nulla.
Si può estendere questo risultato all'area del segnale ottenuto come replica periodica del generatore, asserendo che ha area nulla? (il che sembrerebbe in accordo col risultato intuitivo per cui l'area di un segnale periodico deve essere o nulla o infinita).
Cioè, è lecito scrivere:
$A_x = \lim_{K \to \infty} \sum_{n=-K}^(+K) [ \sum_{h=-\infty}^(+\infty) x_(g)(n - hN_0)] = \sum_{h=-\infty}^(+\infty) [ \lim_{K \to \infty} \sum_{n=-K}^(+K) x_(g)(n - hN_0)]$
invertendo le sommatorie? e dove posso trovare qualche altra informazione al proposito?
Grazie per l'attenzione, e scusate se parte del quesito può essere stata mal posta (non ho conoscenze abbastanza approfondite di matematica teorica).
Risposte
Prendiamo un segnale periodico simile al tuo e calcoliamo:
[tex]\displaystyle \sum_{n=-t}^{t} cos(\frac{n\pi}{2})[/tex]
Osserva che:
[tex]cos(\pi/2 + k\pi)=0[/tex]
ed anche:
[tex]cos(\pi + 2k\pi)=-1[/tex]
[tex]cos(0 + 2k\pi)=1[/tex]
Da qui l'area che vai a calcolare non è infinita, ma può avere tre valori differenti: [tex]\{0,1,-1\}[/tex]: il limite che cerchi non ha dunque significato in questo caso!
[tex]\displaystyle \sum_{n=-t}^{t} cos(\frac{n\pi}{2})[/tex]
Osserva che:
[tex]cos(\pi/2 + k\pi)=0[/tex]
ed anche:
[tex]cos(\pi + 2k\pi)=-1[/tex]
[tex]cos(0 + 2k\pi)=1[/tex]
Da qui l'area che vai a calcolare non è infinita, ma può avere tre valori differenti: [tex]\{0,1,-1\}[/tex]: il limite che cerchi non ha dunque significato in questo caso!
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