Archimedeità di $NN$ per induzione
Ciao a tutti! Ho fatto una dimostrazione per induzione per provare che $NN$ è archimedeo:
$forall x,y in NN_0 exists n in NN_0 :nx>y$,
dove $NN_0$ è l'insieme dei numeri naturali senza lo zero.
Per iniziare so che esiste almeno un $n in NN_0$ tale che $nx>1$: infatti ad esempio $2x>x≥1$. Suppongo a questo punto che sia vero $forall x in NN_0 exists n in NN_0 :nx>y$. Sia a questo punto $tilde{n} in NN_0$ tale che $tilde{n}x>y$. Ho così:
$y+1
ed ho concluso.
Può andare bene?
$forall x,y in NN_0 exists n in NN_0 :nx>y$,
dove $NN_0$ è l'insieme dei numeri naturali senza lo zero.
Per iniziare so che esiste almeno un $n in NN_0$ tale che $nx>1$: infatti ad esempio $2x>x≥1$. Suppongo a questo punto che sia vero $forall x in NN_0 exists n in NN_0 :nx>y$. Sia a questo punto $tilde{n} in NN_0$ tale che $tilde{n}x>y$. Ho così:
$y+1
Può andare bene?
Risposte
Secondo me devi fare induzione sia su x che su y
Io pensavo di agire per induzione su $y$ in questo predicato:
$forall x in NN_0 exists n in NN_0: nx>y$.
$forall x in NN_0 exists n in NN_0: nx>y$.
provate per assurdo che fate prima...
Vabbé, per assurdo è semplice. A me interessa farlo per induzione.

Anche per induzione non è difficile ...
Come detto "induci" su $y$ ...
Passo base: dato $y=1$ per ogni $x in NN_0$ è vero che $2x>1$
Passo induttivo: visto che per ogni $x in NN_0$ il passo base è vero, possiamo ipotizzare che, dato un generico $y in NN_0$, per ogni $x in NN_0$ esista un $n_x in NN_0$ tale per cui sia $n_x*x>y$. Dobbiamo dimostrare che per ogni $x in NN_0$ esista un $m_x in NN_0$ per cui sia $m_x*x>y+1$.
Dato che è $2x>1$ allora dall'ipotesi $n_x*x>y$ ne cosnegue che $n_x*x+2x>y+1$ ovvero $(n_x+2)x>y+1$ cioè $m_x*x>y+1$
Va bene così?
Cordialmente, Alex

Come detto "induci" su $y$ ...
Passo base: dato $y=1$ per ogni $x in NN_0$ è vero che $2x>1$
Passo induttivo: visto che per ogni $x in NN_0$ il passo base è vero, possiamo ipotizzare che, dato un generico $y in NN_0$, per ogni $x in NN_0$ esista un $n_x in NN_0$ tale per cui sia $n_x*x>y$. Dobbiamo dimostrare che per ogni $x in NN_0$ esista un $m_x in NN_0$ per cui sia $m_x*x>y+1$.
Dato che è $2x>1$ allora dall'ipotesi $n_x*x>y$ ne cosnegue che $n_x*x+2x>y+1$ ovvero $(n_x+2)x>y+1$ cioè $m_x*x>y+1$
Va bene così?

Cordialmente, Alex
@axpgn,
abbiamo fatto quasi la stessa identica cosa.
abbiamo fatto quasi la stessa identica cosa.
Quasi ...

Infatti ho detto "quasi". Quindi può andare bene? A me il metodo che ho seguito, vedendo quello che hai fatti mi sembra crretto.
Mi sembra poco "ordinato" ...
Ma può andare bene? Per "ordinato" intendi una cosa del tipo:
Passo base:...
Passo induttivo:...
O no?
Passo base:...
Passo induttivo:...
O no?
Anche ... ma non solo ... non ha molto senso (o comunque non é chiaro) per esempio dove dici " per ogni $x$ e $y$ ..." : a mio parere deve essere chiaro quale sia la variabile su cui "fai" l'induzione ...
Mi sono accorto di aver fatto un refuso nell'ipotesi di induzione.
Non ti piace il "$forall x,y$" che uso? Poi pensavo fosse chiaro il mio ragionamento e che procedessi per induzione su $y$. Però se è più chiaro posso riformulare così:
A questo punto credo di aver messo in evidenza su chi agisco per induzione.
Non ti piace il "$forall x,y$" che uso? Poi pensavo fosse chiaro il mio ragionamento e che procedessi per induzione su $y$. Però se è più chiaro posso riformulare così:
Fissato un $x in NN_0$ si ha
$forall y in NN_0 exists n in NN_0: nx>y$
A questo punto credo di aver messo in evidenza su chi agisco per induzione.
Scusami ma se il passo base è $2x>1$ allora la variabile su cui fa induzione è $y$ e quindi quello che hai scritto ora è il contrario ...

Non capisco cosa intendi. Io procedo per induzione su $y$. Ti puoi spiegare meglio? 
Può darsi che non mi sia espresso bene e che na abbia fatto intendere ciò che volevo.

Può darsi che non mi sia espresso bene e che na abbia fatto intendere ciò che volevo.
Non stai lavorando su $y$ tant'è che scrivi "per ogni $y$" invece il passo induttivo "lavora" su una $y$ sola (generica ma unica) e sulla successiva ...
Prova a rileggere cosa ho scritto e vedere cosa varia e come varia ...
Prova a rileggere cosa ho scritto e vedere cosa varia e come varia ...
"Per ogni $y$" l'ho messo nel teorema. Sul passo induttivo non mi pare di aver usato un "per ogni $y$".
Lo hai scritto qui sopra ...
Scusami cerca di spiegarti meglio. Stiamo parlando della riformulazione che ho fatto qualche post fa?
Il fatto è che io mi sono spiegato bene nel mio primo post e spiegarmi meglio mi è difficile ...
Se, come ti ho suggerito, rilegessi quello, poi magari lo confronti con la tua formulazione e vedi dove stanno le differenze ...

Se, come ti ho suggerito, rilegessi quello, poi magari lo confronti con la tua formulazione e vedi dove stanno le differenze ...
Io ho confrontato la tua dimostrazione con la mia è non ci sono differenze che minano la correttezza della mia - mi sembra per ora. Non ho problemi di tempo, quindi faccio passare un po' di tempo e rivedo il tutto e rileggo e cerco di capire quello che mi hai detto.