Approssimazione dell'errore

[Manugal]

Ciao a tutti!

Mi trovo di fronte a questo esercizio che sembra simile ad altri che ho fatto però siccome è formulato in questa modo sembra un'altra cosa:

"Si maggiori l'errore che si commette approssimando $e^(x^2)$ con $1-x^2$ nell'intervallo $[0,1/10]$"

Negli altri esercizi calcolavo il polinomio di Taylor o MacLaurin, ma qui non capisco che vuol dire approssimare quella funzione con $1-x^2$.

Grazie.

[david_e1]

E' un modo alternativo per richiedere di fare lo sviluppo in serie di MacLaurin di $e^{x^2}$ con resto di Lagrange: una volta scritto il tutto puoi maggiorare il resto di Lagrange con il suo massimo nell'intervallo $[0,1/10]$.

[Fioravante Patrone1]

"Manugal":
"Si maggiori l'errore che si commette approssimando $e^(x^2)$ con $1-x^2$ nell'intervallo $[0,1/10]$"

Sicuro che non ci sia un errore di segno? Mi sa che e' $e^(-x^2)$.
Se e' questo, gia' ti viene detto quale polinomio di Taylor devi usare. E usi, naturalmente, il resto di Lagrange, come detto da david_e (toh, chi si vede!)

[david_e1]

"Fioravante Patrone":[quote="Manugal"]
"Si maggiori l'errore che si commette approssimando $e^(x^2)$ con $1-x^2$ nell'intervallo $[0,1/10]$"

Sicuro che non ci sia un errore di segno? Mi sa che e' $e^(-x^2)$.[/quote]
E' vero o c'e' un errore di segno oppure ti chiedono di sviluppare in serie di MacLaurin (con resto di Lagrange) e stimare il modulo della differenza fra i due polinomi... ma piu' probabilmente c'e' un errore di segno come dice Patrone: stimare $e^{x^2}$ con $1-x^2$ non e' molto sensato...

[Manugal]

Ok, capito. Cmq non so se c'è un errore, sul testo è scritto così. Però quello che non mi è tanto chiaro è quell'$1-x^2$. Cioè una volta sviluppato $e^(x^2)$ che ci devo fare con questo $1-x^2$?

[gugo82]

"Manugal":Ok, capito. Cmq non so se c'è un errore, sul testo è scritto così. Però quello che non mi è tanto chiaro è quell'$1-x^2$. Cioè una volta sviluppato $e^(x^2)$ che ci devo fare con questo $1-x^2$?

In pratica ti si chiede di maggiorare con un numero la funzione d'errore $epsilon(x)=e^(x^2)-(1-x^2)$ definita in $[0,1/10]$.

Visto che $e^y=1+y+e^eta/2 y^2$ con $eta in [min{0,y},max{0,y}]$ (Formula di Taylor-McLaurin col resto nella forma di Lagrange) hai $e^(x^2)=1+x^2+e^(xi^2)/2 x^4$ con $xi in [min{0,x}{0,x}]subseteq [0,1/10]$; sostituendo nella funzione di errore trovi:

$epsilon(x)=1+x^2+e^(xi^2)/2 x^4-1+x^2=2x^2+e^(xi^2)/2 x^4le 2/10^2+1/2e^(1/10^2)*1/10^4 \cong 0,02005$

(tieni presente che $e^(xi^2)$ e $x^4$ sono entrambe funzioni crescenti di $xi$ ed $x$ nell'intervallo considerato).

[Manugal]

Ciao, scusa la vedo soltanto adesso la tua soluzione. Ma cosa significa quel $\eta$? La formula per l'errore è:

$R_n(x)=(f^(n+1)(xi))/(n+1!)x^(n+1)$. Quindi in teoria dovrebbe venire:

$R_n(x)=e^(xi^2)/(2!)x^2

[gugo82]

In effetti c'era un $eta$ di troppo nel resto di Lagrange di $e^y$.
Corretto ora.