Applicazioni teorema di Sylow
Dimostrare che un gruppo $G$ di ordine $56$ ha un $p$-sottogruppo di Sylow normale per qualche $p$ che divede $56$.
Indichiamo con $n_2$ il numero dei $2$-sottogruppi di Sylow e con $n_7$ il numero dei $7$-sottogruppi di Sylow.
Durante la dimostrazione fatta a lezione, non comprendo perchè
$n_2=7$ implica $n_7=1$.
Infatti viene detto che ci sono $7$-sottogruppi di Sylow e ognuno di questi ha ordine $2^3=8$, cioè ognuno di questi sottogruppi contiene $8$ elementi...e fin qui ci sono...non mi è però altrettanto chiaro il perché allora si possa dire che $n_7=1$
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie
Indichiamo con $n_2$ il numero dei $2$-sottogruppi di Sylow e con $n_7$ il numero dei $7$-sottogruppi di Sylow.
Durante la dimostrazione fatta a lezione, non comprendo perchè
$n_2=7$ implica $n_7=1$.
Infatti viene detto che ci sono $7$-sottogruppi di Sylow e ognuno di questi ha ordine $2^3=8$, cioè ognuno di questi sottogruppi contiene $8$ elementi...e fin qui ci sono...non mi è però altrettanto chiaro il perché allora si possa dire che $n_7=1$
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie
Risposte
Ti converrebbe partire da $n_7$: se è $1$ hai finito, mentre se è $8$ hai $8$ sottogruppi di ordine $7$, che a due a due si intersecano banalmente (perché tale intersezione è un sottogruppo proprio di entrambi e $7$ è primo); inoltre, ognuno di questi sottogruppi contiene $6$ elementi di ordine $7$, per cui in totale gli elementi di ordine $7$ in $G$ sono $8*6=48$, cioè tutti gli elementi di $G$ tranne $8$, e rimane spazio per un solo sottogruppo di ordine $8$, quindi $n_2=1$.
Ovviamente potresti concludere anche partendo da $n_2=7$, ma poiché $8$ non è primo non è scontato che due sottogruppi distinti di ordine $8$ si intersechino banalmente (anzi, questo non può succedere perché il prodotto dei loro ordini è maggiore dell'ordine di $G$). Di solito, quando si hanno due sottogruppi di Sylow che non si intersecano banalmente, si ottengono informazioni utili ragionando sul normalizzatore della loro intersezione: da qui sapresti concludere?
Ovviamente potresti concludere anche partendo da $n_2=7$, ma poiché $8$ non è primo non è scontato che due sottogruppi distinti di ordine $8$ si intersechino banalmente (anzi, questo non può succedere perché il prodotto dei loro ordini è maggiore dell'ordine di $G$). Di solito, quando si hanno due sottogruppi di Sylow che non si intersecano banalmente, si ottengono informazioni utili ragionando sul normalizzatore della loro intersezione: da qui sapresti concludere?
Ciao, innanzitutto grazie della risposta.
Da quanto ho capito quindi per la richiesta del teorema mi sarebbe bastato solo dimostrare che $n_7=8$ implica $n_2=1$. Corretto?
Qui tuttavia mi sfuggono 2 aspetti: perché gli $8$ sottogruppi di ordine $7$ si intersecano banalmente? E perché hanno $6$ elementi ciascuno di periodo $7$?
Dopo ciò spero di aver capito il ragionamento: si è dimostrato che in $G$ ci sono $48$ elementi di periodo non $7$ e $56-48=8$ elementi e poiché $7$ non divide $8$(ovvero in gruppo di ordine $8$ non ci possono essere elementi di periodo $7$), cioè l'ordine di un singolo $2$-sottogruppo di Sylow, allora necessariamente vi è un solo $2$-sottogruppo di Sylow che é normale, contiene $8$ elementi, e quindi $n_2=1$. Cosi è il ragionamento?
Mentre invece per l'implicazione $n_2=7$ $-> n_7=1$, che forse si potrebbe evitare (?), anche con l'idea del normalizzante non riesco a dimostrarla.
Riporto la frase veloce con cui il mio prof ha risolto la questione:
" Se $n_2=7$ allora avrò elementi di periodo una potenza di $2$ (dove, io non l'ho capito) però di certo più di $8$ perché se in uno ce ne stanno $8$ (dove stanno?), in un altro se esiste deve esserci almeno un elemento. Ma ciò è impossibile! Allora $n_7=1$ "
E di questa "dimostrazione" non ho davvero capito nulla!
Grazie
Da quanto ho capito quindi per la richiesta del teorema mi sarebbe bastato solo dimostrare che $n_7=8$ implica $n_2=1$. Corretto?
Qui tuttavia mi sfuggono 2 aspetti: perché gli $8$ sottogruppi di ordine $7$ si intersecano banalmente? E perché hanno $6$ elementi ciascuno di periodo $7$?
Dopo ciò spero di aver capito il ragionamento: si è dimostrato che in $G$ ci sono $48$ elementi di periodo non $7$ e $56-48=8$ elementi e poiché $7$ non divide $8$(ovvero in gruppo di ordine $8$ non ci possono essere elementi di periodo $7$), cioè l'ordine di un singolo $2$-sottogruppo di Sylow, allora necessariamente vi è un solo $2$-sottogruppo di Sylow che é normale, contiene $8$ elementi, e quindi $n_2=1$. Cosi è il ragionamento?
Mentre invece per l'implicazione $n_2=7$ $-> n_7=1$, che forse si potrebbe evitare (?), anche con l'idea del normalizzante non riesco a dimostrarla.
Riporto la frase veloce con cui il mio prof ha risolto la questione:
" Se $n_2=7$ allora avrò elementi di periodo una potenza di $2$ (dove, io non l'ho capito) però di certo più di $8$ perché se in uno ce ne stanno $8$ (dove stanno?), in un altro se esiste deve esserci almeno un elemento. Ma ciò è impossibile! Allora $n_7=1$ "
E di questa "dimostrazione" non ho davvero capito nulla!
Grazie
"Aletzunny":
Ciao, innanzitutto grazie della risposta.
Da quanto ho capito quindi per la richiesta del teorema mi sarebbe bastato solo dimostrare che $n_7=8$ implica $n_2=1$. Corretto?
Sì
"Aletzunny":
Qui tuttavia mi sfuggono 2 aspetti: perché gli $8$ sottogruppi di ordine $7$ si intersecano banalmente? E perché hanno $6$ elementi ciascuno di periodo $7$?
In un gruppo di ordine $p$, dove $p$ è un primo qualsiasi, il periodo di un elemento deve essere un divisore di $p$, e quindi può essere solo $1$ o $p$, ma l'unico elemento di periodo $1$ è l'elemento neutro, mentre gli altri $p-1$ hanno periodo $p$ . Ora, se nel tuo gruppo $G$ di ordine $56$ prendi due sottogruppi distinti $H$ e $K$ di ordine $7$, la loro intersezione è un sottogruppo di $H$: se per assurdo contenesse un elemento non banale di $H$, dovrebbe contenere anche tutte le sue potenze, e seguirebbe $H \cap K =H \Rightarrow H \subseteq K \Rightarrow H=K$ (perché $H$ e $K$ hanno la stessa cardinalità), che contraddice l'ipotesi. Ne deduciamo che $H \cap K=\{ e \}$.
"Aletzunny":
Dopo ciò spero di aver capito il ragionamento: si è dimostrato che in $G$ ci sono $48$ elementi di periodo non $7$ e $56-48=8$ elementi e poiché $7$ non divide $8$(ovvero in gruppo di ordine $8$ non ci possono essere elementi di periodo $7$), cioè l'ordine di un singolo $2$-sottogruppo di Sylow, allora necessariamente vi è un solo $2$-sottogruppo di Sylow che é normale, contiene $8$ elementi, e quindi $n_2=1$. Cosi è il ragionamento?
Sì
"Aletzunny":
" Se $n_2=7$ allora avrò elementi di periodo una potenza di $2$ (dove, io non l'ho capito) però di certo più di $8$ perché se in uno ce ne stanno $8$ (dove stanno?), in un altro se esiste deve esserci almeno un elemento. Ma ciò è impossibile! Allora $n_7=1$ "
Mi lascia un po' perplesso perché non è impossibile che $n_2=7$ (prendi ad esempio il gruppo diedrale $D_{28}$ e prova a contare i sottogruppi di ordine $8$). Però è impossibile che valgano simultaneamente $n_2=7$ e $n_7=8$, quindi sono convinto che il tuo professore avesse già supposto $n_7=8$ e contato gli elementi di periodo $7$ con lo stesso procedimento che ti avevo scritto nel messaggio precedente, e che la frase che hai riportato servisse a dimostrare che a questo punto si deve avere $n_2=1$ (io avevo scritto "rimane spazio per un solo sottogruppo di ordine $8$", ma effettivamente andrebbe formalizzato un po' meglio).
Sostanzialmente, il senso di quella frase sarebbe: in un $2$-sottogruppo di Sylow, che chiamiamo $H$, ci sono $8$ elementi di periodo una potenza di $2$, che insieme ai $48$ elementi di periodo $7$ esauriscono gli elementi di $G$, quindi in un ipotetico $2$-sottogruppo di Sylow diverso da $H$ dovrebbero esserci degli elementi non appartenenti a $H$ e di periodo una potenza di $2$, ma abbiamo appena visto che non ce ne sono.
Grazie mille per la precisione della risposta, ora è tutto più chiaro e ho capito!
Infatti con un altro $2$ sottogruppo di Sylow supererei la cardinalità di $G=56$ è ciò impossibile...se ho capito bene
Inoltre gli elementi di $H$ possono avere un periodo al massimo $2^3$ e quindi i periodi possibili sono $1,2,4,8$ giusto?
P.S.:Speriamo in futuro di capire meglio questi argomenti, li sto trovando davvero tosti e complicati
Infatti con un altro $2$ sottogruppo di Sylow supererei la cardinalità di $G=56$ è ciò impossibile...se ho capito bene
Inoltre gli elementi di $H$ possono avere un periodo al massimo $2^3$ e quindi i periodi possibili sono $1,2,4,8$ giusto?
P.S.:Speriamo in futuro di capire meglio questi argomenti, li sto trovando davvero tosti e complicati
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