Applicazioni nei complessi

[Amartya]

Salve,

Ho questo esercizio:
Consideriamo la legge $f_a: R-> C$

definita da $f_a(x) =(x-i)/(x^2-a)$ con $a in R$

devo dire per quali valori di $a$ essa determina una applicazione da $R$ in $C$ e posto $a=1$, determinare $im(f_1)$ e rappresentare tale immagine in un piano cartesiano.

Al primo punto ho risposto che $a != x^2$.

Al secondo punto se $a=1$ allora $f_1 = 1/(x+1)$ come si rappresenta una funzione con numeri complessi sul piano cartesiano?


Grazie

[gugo82]

"emanuele78":Salve,

Ho questo esercizio:
Consideriamo la legge $f_a: R-> C$

definita da $f_a(x) =(x-i)/(x^2-a)$ con $a in R$

devo dire per quali valori di $a$ essa determina una applicazione da $R$ in $C$ e posto $a=1$, determinare $im(f_1)$ e rappresentare tale immagine in un piano cartesiano.

Al primo punto ho risposto che $a != x^2$.

E ciò cosa signifca, di grazia?

Affinché una funzione razionale sia definita in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex] serve che il denominatore non si annulli per nessun valore di [tex]$x$[/tex]; il tuo denominatore è [tex]$x^2-a$[/tex] ed [tex]$x^2\geq 0$[/tex], quindi affinché non si annulli ti serve che [tex]$a$[/tex] sia...

"emanuele78":Al secondo punto se $a=1$ allora $f_1 = 1/(x+1)$ come si rappresenta una funzione con numeri complessi sul piano cartesiano?

Perchè semplifichi? Ti risulta che [tex]$x-1=x-\imath$[/tex]?

[Amartya]

"gugo82":
Affinché una funzione razionale sia definita in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex] serve che il denominatore non si annulli per nessun valore di [tex]$x$[/tex]; il tuo denominatore è [tex]$x^2-a$[/tex] ed [tex]$x^2\geq 0$[/tex], quindi affinché non si annulli ti serve che [tex]$a$[/tex] sia...

Credo sia uguale ad un numero negativo così che non esiste $x in R$ t.c. $x^2 -a = 0$, quindi posso scrivere $a in R^-$?

[Amartya]

"emanuele78":[quote="gugo82"]
Affinché una funzione razionale sia definita in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex] serve che il denominatore non si annulli per nessun valore di [tex]$x$[/tex]; il tuo denominatore è [tex]$x^2-a$[/tex] ed [tex]$x^2\geq 0$[/tex], quindi affinché non si annulli ti serve che [tex]$a$[/tex] sia...

Credo sia uguale ad un numero negativo così che non esiste $x in R$ t.c. $x^2 -a = 0$, quindi posso scrivere $a in R^-$?[/quote]

Ho fatto un errore di scrittura.

Allora la funzione è $f_a(x) = (x-i)/(x^2 +a)$ con $a in R$

quindi affinchè il denominaore non si annulli per nessun valore di $x$ deve essere che $a>0$.

Mentre se posto $a=1$ ottengo $f_1(x)=(x-i)/(x^2 +1)$, che dovrebbe essere equivalente a scrivere $f_1(x) = (x-i)/((x-i)*(x+i))$ da cui $f_1(x) = 1/(x+i)$

[blackbishop13]

Eh, non è così semplice..

Le funzioni [tex]$\frac{x-i}{x^2+1}$[/tex] e [tex]$\frac{1}{x+i}$[/tex] non sono equivalenti, cioè non sono la stessa funzione, perchè la prima è definita per [tex]$x \neq \pm i$[/tex] la seconda per [tex]$x \neq -i$[/tex]

[Amartya]

"blackbishop13":Eh, non è così semplice..

Le funzioni [tex]$\frac{x-i}{x^2+1}$[/tex] e [tex]$\frac{1}{x+i}$[/tex] non sono equivalenti, cioè non sono la stessa funzione, perchè la prima è definita per [tex]$x \neq \pm i$[/tex] la seconda per [tex]$x \neq -i$[/tex]

Ok, però essendo definita da $R -> C$ credo che $x$ non possa mai assumere valore $i$. In ogni caso il mio problema è capire come si calcola l'$Im(f)$ di un funzione complessa in generale, e come si rappresenta, ho trovato pochissimo materiale a riguardo.

Grazie