Applicazioni e numeri cardinali
Salve 
Ho trovato un interessante problema del quale,però,non ho capito completamente la risposta.
Ecco il problema:
Siano $A$ e $B$ due insiemi,con $c(A)=k$ e $c(B)=n$,calcolare il numero delle applicazioni $F_{nk}$ definite da $A$ in $B$.
Risposta:
Si può procedere per induzione rispetto a $k$.
Ovviamente $F_{n,1}=n$ ,infatti se $A$ ha un solo elemento ci sono tante applicazioni $A->B$ quanti gli elementi di $B$.
Se $k>1$ suddividiamo le applicazioni $A->B$ in classi: scelto un $ainA$ mettiamo nella stessa classe le applicazioni che coincidono in $A-{a}$.
Fin qui tutto ok, poi il testo prosegue dicendo:
Il numero di elementi di una classe è $n$,poichè il numero di applicazioni ${a}->B$ è prorio $n$. (*)
Non sono molto convinto di questa cosa, qualcuno potrebbe aiutarmi a capiere meglio perchè è vera la (*).
Poi continua affermando:
Il numero di classi è invece $F_{n,k-1}$.
Come ci si convince di questo?
Per determinare $F_{n,k}$ possiamo applicare il principio del quoziente e scrivere:
$F_{n,k}=F_{n,k-1}*n$
Tenendo conto che poi $F_{n,1}=n$ , risulterà:
$F_{n,k}=n^k$
Anche qui non sono molto convinto.
Insomma qualcuno potrebbe chiarirmi le idee?
Ho trovato un interessante problema del quale,però,non ho capito completamente la risposta.
Ecco il problema:
Siano $A$ e $B$ due insiemi,con $c(A)=k$ e $c(B)=n$,calcolare il numero delle applicazioni $F_{nk}$ definite da $A$ in $B$.
Risposta:
Si può procedere per induzione rispetto a $k$.
Ovviamente $F_{n,1}=n$ ,infatti se $A$ ha un solo elemento ci sono tante applicazioni $A->B$ quanti gli elementi di $B$.
Se $k>1$ suddividiamo le applicazioni $A->B$ in classi: scelto un $ainA$ mettiamo nella stessa classe le applicazioni che coincidono in $A-{a}$.
Fin qui tutto ok, poi il testo prosegue dicendo:
Il numero di elementi di una classe è $n$,poichè il numero di applicazioni ${a}->B$ è prorio $n$. (*)
Non sono molto convinto di questa cosa, qualcuno potrebbe aiutarmi a capiere meglio perchè è vera la (*).
Poi continua affermando:
Il numero di classi è invece $F_{n,k-1}$.
Come ci si convince di questo?
Per determinare $F_{n,k}$ possiamo applicare il principio del quoziente e scrivere:
$F_{n,k}=F_{n,k-1}*n$
Tenendo conto che poi $F_{n,1}=n$ , risulterà:
$F_{n,k}=n^k$
Anche qui non sono molto convinto.
Insomma qualcuno potrebbe chiarirmi le idee?
Risposte
"Otherguy2k":
Se $k>1$ suddividiamo le applicazioni $A->B$ in classi: scelto un $ainA$ mettiamo nella stessa classe le applicazioni che coincidono in $A-{a}$.
Non capisco cosa si intende per applicazioni "che coincidono" in $A-{a}$
Poi, il tuo dubbio sulls (*) è "perchè da ${a}$ in $B$ esistono $n$ applicazioni avendo $B n$ elementi"?
in tal caso la risposta l'hai data tu stesso qualche riga più sopra..
spero di poter essere di maggiore aiuto una volta chiarito il mio dubbio
ciao
Credo che voglia dire questo:
per fissare univocamente una funzione devo determinare le immagini di tutti gli elementi di A.
Scelto $a in A$ e fissate le immagini dei restanti elementi ossia degli elementi di $A-{a}$ ho n funzioni possibili (che quindi coincidono su $A-{a}$) quante sono le scelte per f(a). Queste formano la famosa classe di cui parla. Quindi sta praticamente calcolando ricorsivamente il numero di funzioni. Questo è un modo molto arzigoggolato per dire la seguente cosa:
Ogni funzione è univocamente determinata dalle immaigni degli elementi di A e due funzioni che coincidono su tutti gli elementi di a sono uguali. Quindi ho n scelte per il primo elemento di A, n per il secondo,..., n per il k-esimo elemento. Totale $n^k$.
per fissare univocamente una funzione devo determinare le immagini di tutti gli elementi di A.
Scelto $a in A$ e fissate le immagini dei restanti elementi ossia degli elementi di $A-{a}$ ho n funzioni possibili (che quindi coincidono su $A-{a}$) quante sono le scelte per f(a). Queste formano la famosa classe di cui parla. Quindi sta praticamente calcolando ricorsivamente il numero di funzioni. Questo è un modo molto arzigoggolato per dire la seguente cosa:
Ogni funzione è univocamente determinata dalle immaigni degli elementi di A e due funzioni che coincidono su tutti gli elementi di a sono uguali. Quindi ho n scelte per il primo elemento di A, n per il secondo,..., n per il k-esimo elemento. Totale $n^k$.
"mickey88":
Non capisco cosa si intende per applicazioni "che coincidono" in $A-{a}$
Ciao
Allora per applicazioni che coincidono in $A-{a}$ si intendo le applicazioni che a ogni elemento in $A-{a}$ associano lo stesso elemento in $B$.
"mickey88":
Poi, il tuo dubbio sulls (*) è "perchè da ${a}$ in $B$ esistono $n$ applicazioni avendo $B n$ elementi"?
No il mio dubbio è sul fatto che ogni classe, per come le abbiamo definite, abbia $n$ elementi!
Come si prova questo fatto?
Poi come si prova che le classi sono proprio $F_{n,k-1}$?
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