Applicazioni con classi di interi modulo m
Buonasera, ho alcuni problemi con questo esercizi sulle classi di resto modulo m.
Sia ($ZZ_137$,+,$*$) l'anello degli interi modulo 137. E sia $f: x in ZZ_137 -> x^137 in ZZ_137$. Stabile se f è iniettiva e suriettiva.
Per l'iniettività basta provare che $AA x,y in ZZ_137, f(x) = f(y) => x=y$. Siano $x,y in ZZ_137$ e considero le immagini $f(x)=x^137 f(y)=y^137$ e pongo $f(x)=f(y)$ allora $x^137=y^137 <=> root(137)(x^137)=root(137)(y^137) <=> x=y$.
Per la suriettiva bisogna provare che $AA y in ZZ_137 EE x in ZZ_137 : f(x)=y$. Sia $x in ZZ_137$ allora $f(x)=x^137$. Pongo $y=x^137 <=> root(137)(y)=x$. A questo punto però non saprei dire se questa uguaglianza vale per ogni $x in ZZ_137$. Inoltre non saprei se per l'iniettività il ragionamento è giusto.
Grazie.
Sia ($ZZ_137$,+,$*$) l'anello degli interi modulo 137. E sia $f: x in ZZ_137 -> x^137 in ZZ_137$. Stabile se f è iniettiva e suriettiva.
Per l'iniettività basta provare che $AA x,y in ZZ_137, f(x) = f(y) => x=y$. Siano $x,y in ZZ_137$ e considero le immagini $f(x)=x^137 f(y)=y^137$ e pongo $f(x)=f(y)$ allora $x^137=y^137 <=> root(137)(x^137)=root(137)(y^137) <=> x=y$.
Per la suriettiva bisogna provare che $AA y in ZZ_137 EE x in ZZ_137 : f(x)=y$. Sia $x in ZZ_137$ allora $f(x)=x^137$. Pongo $y=x^137 <=> root(137)(y)=x$. A questo punto però non saprei dire se questa uguaglianza vale per ogni $x in ZZ_137$. Inoltre non saprei se per l'iniettività il ragionamento è giusto.
Grazie.
Risposte
Ciao.
Usare il simbolo di radice è sbagliato perché non viene introdotto per le classi di resto.
Quindi direi che questo esercizio si può svolgere utilizzando il piccolo teorema di Fermat che dice che dato $p$ un primo si ha che $x^p=x$ in $\mathbb{Z}_p$.
iniettività:
$\forall\ x,y\in\mathbb{Z}_137$ tale che $f(x)=f(y)$ ossia $x^137=y^137$ si ha che per il piccolo teorema di Fermat $x=x^137=y^137=y$.
Suriettività:
$\forall\ y\in\mathbb{Z}_137\quad\exists x\in\mathbb{Z}_137$ tale che $f(x)=y$?
Si, basta prendere $x=y$. Infatti $f(y)=y^137=y$ mod(137).
Usare il simbolo di radice è sbagliato perché non viene introdotto per le classi di resto.
Quindi direi che questo esercizio si può svolgere utilizzando il piccolo teorema di Fermat che dice che dato $p$ un primo si ha che $x^p=x$ in $\mathbb{Z}_p$.
iniettività:
$\forall\ x,y\in\mathbb{Z}_137$ tale che $f(x)=f(y)$ ossia $x^137=y^137$ si ha che per il piccolo teorema di Fermat $x=x^137=y^137=y$.
Suriettività:
$\forall\ y\in\mathbb{Z}_137\quad\exists x\in\mathbb{Z}_137$ tale che $f(x)=y$?
Si, basta prendere $x=y$. Infatti $f(y)=y^137=y$ mod(137).
"Davi90":
Ciao.
Usare il simbolo di radice è sbagliato perché non viene introdotto per le classi di resto.
Quindi direi che questo esercizio si può svolgere utilizzando il piccolo teorema di Fermat che dice che dato $p$ un primo si ha che $x^p=x$ in $\mathbb{Z}_p$.
iniettività:
$\forall\ x,y\in\mathbb{Z}_137$ tale che $f(x)=f(y)$ ossia $x^137=y^137$ si ha che per il piccolo teorema di Fermat $x=x^137=y^137=y$.
Suriettività:
$\forall\ y\in\mathbb{Z}_137\quad\exists x\in\mathbb{Z}_137$ tale che $f(x)=y$?
Si, basta prendere $x=y$. Infatti $f(y)=y^137=y$ mod(137).
Chiarissimo, grazie. Ma se avessimo a che fare con numeri non primi?
Bo non saprei, secondo me può diventare un po' difficile se il numero che consideri è completamente casuale.
Però analogo del piccolo teorema di Fermat c'è la $\varphi $ di Eulero e il teorema associato dice che $a^{\varphi(n)}=1$ in $\mathbb{Z}_n$.
Per definizione hai che $\varphi(n):=#{a\in\mathbb{N}$ con $1\leq a\leqn $ e tale che $\text{MCD}(a,n)=1}$.
Dai un'occhiata a https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_φ_di_Eulero
Se hai altre domande chiedi pure
Ciao
Però analogo del piccolo teorema di Fermat c'è la $\varphi $ di Eulero e il teorema associato dice che $a^{\varphi(n)}=1$ in $\mathbb{Z}_n$.
Per definizione hai che $\varphi(n):=#{a\in\mathbb{N}$ con $1\leq a\leqn $ e tale che $\text{MCD}(a,n)=1}$.
Dai un'occhiata a https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_φ_di_Eulero
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Ciao
"Davi90":
Bo non saprei, secondo me può diventare un po' difficile se il numero che consideri è completamente casuale.
Però analogo del piccolo teorema di Fermat c'è la $\varphi $ di Eulero e il teorema associato dice che $a^{\varphi(n)}=1$ in $\mathbb{Z}_n$.
Per definizione hai che $\varphi(n):=#{a\in\mathbb{N}$ con $1\leq a\leqn $ e tale che $\text{MCD}(a,n)=1}$.
Dai un'occhiata a https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_φ_di_Eulero
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Ciao
Gentilissimo, grazie!
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