Applicazione teorema di Lagrange
Sono alle prese con i primi esercizi sulla teoria dei gruppi e mi trovo in difficoltà con questo.
Testo: Sia H il sottogruppo del gruppo alterno $A_5$ generato dalle permutazioni $(1 2)(3 4)$ e $(1 3 5)$.
1)Dimostrare che $H$ contiene un elemento di ordine $5$.
2)Dedurre che l’ordine di $ H $ è divisibile per $30.$
3)Dedurre che $H$ = $A_5$
SOL.:
Innanzitutto so che $|A_5|=60$, per cui so che l'ordine di un sottogruppo $H$ divide $60.$
1)
Per prima cosa $(12)(34)$ ha ordine $2$, mentre $(135)$ ha ordine $3$.
Visto che $H$ è generato da quelle permutazioni, ho che $(1 2)(3 4)(135)=(12345)$ e l'ordine di $(12345)$ è 5.
Quindi ho mostrato che $H$ contiene un elemento di ordine 5.
Secondo me ci deve essere anche un'altra via meno esplicita che però ora non riesco a trovare.
2)
Dall'uguaglianza $(1 2)(3 4)(135)=(12345)$ ho che $|H|$ è divisibile per $2$, per $3$, e per $5$. Quindi $|H|$ è divisibile per 30.
3)
Ora arriva il punto in cui non riesco ad andare avanti. Dopo aver letto questa discussione, ho compreso che, se l'ordine di $H$ fosse $30$, allora avrei che $A_5$ ha un sottogruppo di indice 2, ma questo è impossibile poiché $A_5$ è semplice.
Il problema è che nel testo la nozione di gruppo semplice non l'abbiamo ancora affrontata e per cui dovrei usare il metodo che propone Martino nel penultimo messaggio, ossia:
A quanto ho capito dovrei trovare un elemento generato dalle permutazioni di $H$ che ha ordine 4, per concludere che $|H|=|A_5|=60$ e che quindi $H=A_5$.
Solo che non so come ricavarlo e cosa intende @Martino con "(noioso) lavoro".
Grazie per la disponibilità, buonanotte !
Testo: Sia H il sottogruppo del gruppo alterno $A_5$ generato dalle permutazioni $(1 2)(3 4)$ e $(1 3 5)$.
1)Dimostrare che $H$ contiene un elemento di ordine $5$.
2)Dedurre che l’ordine di $ H $ è divisibile per $30.$
3)Dedurre che $H$ = $A_5$
SOL.:
Innanzitutto so che $|A_5|=60$, per cui so che l'ordine di un sottogruppo $H$ divide $60.$
1)
Per prima cosa $(12)(34)$ ha ordine $2$, mentre $(135)$ ha ordine $3$.
Visto che $H$ è generato da quelle permutazioni, ho che $(1 2)(3 4)(135)=(12345)$ e l'ordine di $(12345)$ è 5.
Quindi ho mostrato che $H$ contiene un elemento di ordine 5.
Secondo me ci deve essere anche un'altra via meno esplicita che però ora non riesco a trovare.
2)
Dall'uguaglianza $(1 2)(3 4)(135)=(12345)$ ho che $|H|$ è divisibile per $2$, per $3$, e per $5$. Quindi $|H|$ è divisibile per 30.
3)
Ora arriva il punto in cui non riesco ad andare avanti. Dopo aver letto questa discussione, ho compreso che, se l'ordine di $H$ fosse $30$, allora avrei che $A_5$ ha un sottogruppo di indice 2, ma questo è impossibile poiché $A_5$ è semplice.
Il problema è che nel testo la nozione di gruppo semplice non l'abbiamo ancora affrontata e per cui dovrei usare il metodo che propone Martino nel penultimo messaggio, ossia:
"Martino":
[...]Se non vuoi usare il fatto che [tex]A_5[/tex] è semplice devi trovare un sottogruppo di ordine 4, con un po' di (noioso) lavoro si riesce a fare.
A quanto ho capito dovrei trovare un elemento generato dalle permutazioni di $H$ che ha ordine 4, per concludere che $|H|=|A_5|=60$ e che quindi $H=A_5$.
Solo che non so come ricavarlo e cosa intende @Martino con "(noioso) lavoro".
Grazie per la disponibilità, buonanotte !
Risposte
Ciao!
Non dovrebbe essere: $(14352)$?
Penso intenda trovare a mano l'elemento, cioè componendo i generatori fin quando non ti viene un elemento di ordine $4$.
Inoltre ti faccio notare che $H$ è normale in $A_n$ perché il suo indice è al più 2, dunque un'altra strategia per trovare un elemento di ordine $4$ potrebbe essere quella di applicare il coniugio a un elemento di $H$.
"feddy":
Visto che $H$ è generato da quelle permutazioni, ho che $(1 2)(3 4)(135)=(12345)$ e l'ordine di $(12345)$ è 5.
Non dovrebbe essere: $(14352)$?
Solo che non so come ricavarlo e cosa intende @Martino con "(noioso) lavoro".
Penso intenda trovare a mano l'elemento, cioè componendo i generatori fin quando non ti viene un elemento di ordine $4$.
Inoltre ti faccio notare che $H$ è normale in $A_n$ perché il suo indice è al più 2, dunque un'altra strategia per trovare un elemento di ordine $4$ potrebbe essere quella di applicare il coniugio a un elemento di $H$.
Ciao, si certo si vede che era tardi e ho sbagliato a trascrivere dalla carta ! Grazie per avermelo fatto notare ! 
Per "comporre i generatori di $H$" intendi fare $(135)(12)(34)$, e così via, giusto? Perché non riesco ad ottenere nulla di ordine $4$. Non è che ce n'è uno che non vedo? Perché ne ho provati ma non ne trovo
Purtroppo la nozione di "coniugio" non l'abbiamo ancora affrontata...
Altrimenti avevo pensato questo metodo:
-Se $|H|=30$, allora si ha che $[H:A_5]=2$.
-In questo modo dovrei riuscire a mostrare che i due laterali sono uguali, e, poiché deve valere l'uguaglianza per il teorema di Lagrange, si ha che $|H|=60$.
Dovrei prendere quindi gli elementi di $A_5$, che sono le permutazioni pari di $S_5$ e mostrare che i laterali sono uguali a tra loro.
Altre strade non ne vedo, dal momento che non posso usare nemmeno il fatto che $A_5$ è semplice.
Per "comporre i generatori di $H$" intendi fare $(135)(12)(34)$, e così via, giusto? Perché non riesco ad ottenere nulla di ordine $4$. Non è che ce n'è uno che non vedo? Perché ne ho provati ma non ne trovo
Purtroppo la nozione di "coniugio" non l'abbiamo ancora affrontata...
Altrimenti avevo pensato questo metodo:
-Se $|H|=30$, allora si ha che $[H:A_5]=2$.
-In questo modo dovrei riuscire a mostrare che i due laterali sono uguali, e, poiché deve valere l'uguaglianza per il teorema di Lagrange, si ha che $|H|=60$.
Dovrei prendere quindi gli elementi di $A_5$, che sono le permutazioni pari di $S_5$ e mostrare che i laterali sono uguali a tra loro.
Altre strade non ne vedo, dal momento che non posso usare nemmeno il fatto che $A_5$ è semplice.
Ciao!
Pensandoci: com'è fatto un elemento di ordine $4$ in $S_5$? Beh è del tipo $(a, b, c, d)$, che è dispari. Dunque bisogna trovare un sottogruppo di ordine $4$, come diceva Martino. Beh io un sospettato ce l'avrei: conosci il gruppo di Klein? E' l'unico gruppo di ordine $4$ non ciclico e isomorfo a $\mathbb{Z_2 x Z_2}$. quindi ti basta trovare due elementi di ordine 2 diversi e il gioco è fatto.
Te lo faccio conoscere io! Suppongo tu abbia definito i sottogruppi normali in questo modo: $G$ gruppo, $H < G$ è normale se e solo se $\forall g in G$ vale l'uguaglianza insiemistica $gHg^-1 = H$.
Bene, adesso fissato $g \in G$ consideriamo $C_g: G \to G$ tale che per ogni $k \in G$ si ha $C_{g} (k) = gkg^-1$, tale applicazione si chiama coniugio rispetto a $g$(esempio pratico: la similitudine in algebra lineare è un coniugio in $GL(n, \mathbb{K})$).
Quindi un sottogruppo è normale se e solo se è invariante per coniugio, cioè: $\forall g in G C_{g}(H) = gHg^-1 = H$; l'idea era quella di prendere elementi di $A_5$ e fare il coniugio su elementi di $H$ in modo da trovare elementi di ordine $4$ o $2$ diversi dai generatori, scartata l'opzione degli elementi di ordine $4$ per questioni di parità allora basta trovare un elemento di $A5$ il cui coniugio applicato a un elemento di $H$ dia una permutazione di ordine $2$ diversa dal generatore o da un suo inverso(che appartiene ad $H$ perché è normale in $A_5$).
"feddy":
Ciao, si certo si vede che era tardi e ho sbagliato a trascrivere dalla carta ! Grazie per avermelo fatto notare !
Per "comporre i generatori di $H$" intendi fare $(135)(12)(34)$, e così via, giusto? Perché non riesco ad ottenere nulla di ordine $4$. Non è che ce n'è uno che non vedo? Perché ne ho provati ma non ne trovo
Pensandoci: com'è fatto un elemento di ordine $4$ in $S_5$? Beh è del tipo $(a, b, c, d)$, che è dispari. Dunque bisogna trovare un sottogruppo di ordine $4$, come diceva Martino. Beh io un sospettato ce l'avrei: conosci il gruppo di Klein? E' l'unico gruppo di ordine $4$ non ciclico e isomorfo a $\mathbb{Z_2 x Z_2}$. quindi ti basta trovare due elementi di ordine 2 diversi e il gioco è fatto.
Purtroppo la nozione di "coniugio" non l'abbiamo ancora affrontata...
Te lo faccio conoscere io! Suppongo tu abbia definito i sottogruppi normali in questo modo: $G$ gruppo, $H < G$ è normale se e solo se $\forall g in G$ vale l'uguaglianza insiemistica $gHg^-1 = H$.
Bene, adesso fissato $g \in G$ consideriamo $C_g: G \to G$ tale che per ogni $k \in G$ si ha $C_{g} (k) = gkg^-1$, tale applicazione si chiama coniugio rispetto a $g$(esempio pratico: la similitudine in algebra lineare è un coniugio in $GL(n, \mathbb{K})$).
Quindi un sottogruppo è normale se e solo se è invariante per coniugio, cioè: $\forall g in G C_{g}(H) = gHg^-1 = H$; l'idea era quella di prendere elementi di $A_5$ e fare il coniugio su elementi di $H$ in modo da trovare elementi di ordine $4$ o $2$ diversi dai generatori, scartata l'opzione degli elementi di ordine $4$ per questioni di parità allora basta trovare un elemento di $A5$ il cui coniugio applicato a un elemento di $H$ dia una permutazione di ordine $2$ diversa dal generatore o da un suo inverso(che appartiene ad $H$ perché è normale in $A_5$).
Grazie mille Shocker ! Era proprio il passaggio che mi mancava ! 
Grazie ancora
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