Applicazione del teorema di Maschke ai gruppi
Buongiorno a tutti!
Vi propongo il mio quesito (nella speranza che sia chiaro):
Sia G un gruppo finito A un p gruppo abeliano elementare con A un sottogruppo normale di G. Allora se p non divide l'ordine di G/A, si ha che A è prodotto diretto di sottogruppi normali minimali di G.
Dim
Ovviamente A si può riguardare come $Zp$ spazio vettoriale
Definisco l' applicazione:
$\psi(g):a in A->a^g in A$ (coniugato)
per come l' ho costruito $\psi(g) in GL(A)$, dunque definisco l' omomorfismo:
$psi:g in G->f(g) in GL(A)$, una $Zp$ rappresentazione di G.
Siccome il nucleo di psi è proprio il centralizzante in G di A e A per ipotesi è abeliano, allora A è contenuto nel nucleo di $\psi$, per cui $\psi$ determina:
$overline(psi):gA in G/A->\psi(g) in GL(A)$ una Zp rappresentazione di G/A.
Nel mio caso il campo K è $Zp$ quindi la caratteristica di $Zp$ è p, ma per ipotesi so che p non divide l' ordine di G/A ...a questo punto vorrei usare il teorema di Mashke ma se lo faccio perdo di vista A come faccio a dimostrare che A si decompone in un prodotto diretto di sottogruppi normali minimali?
Ringrazio anticipatamente tutti quelli che mi vorranno rispondere
Vi propongo il mio quesito (nella speranza che sia chiaro):
Sia G un gruppo finito A un p gruppo abeliano elementare con A un sottogruppo normale di G. Allora se p non divide l'ordine di G/A, si ha che A è prodotto diretto di sottogruppi normali minimali di G.
Dim
Ovviamente A si può riguardare come $Zp$ spazio vettoriale
Definisco l' applicazione:
$\psi(g):a in A->a^g in A$ (coniugato)
per come l' ho costruito $\psi(g) in GL(A)$, dunque definisco l' omomorfismo:
$psi:g in G->f(g) in GL(A)$, una $Zp$ rappresentazione di G.
Siccome il nucleo di psi è proprio il centralizzante in G di A e A per ipotesi è abeliano, allora A è contenuto nel nucleo di $\psi$, per cui $\psi$ determina:
$overline(psi):gA in G/A->\psi(g) in GL(A)$ una Zp rappresentazione di G/A.
Nel mio caso il campo K è $Zp$ quindi la caratteristica di $Zp$ è p, ma per ipotesi so che p non divide l' ordine di G/A ...a questo punto vorrei usare il teorema di Mashke ma se lo faccio perdo di vista A come faccio a dimostrare che A si decompone in un prodotto diretto di sottogruppi normali minimali?
Ringrazio anticipatamente tutti quelli che mi vorranno rispondere
Risposte
Sia $H=G//A$. Hai dimostrato che $A$ è un $H$-modulo sul campo $ZZ//pZZ$, adesso applica il teorema di Maschke all'azione di $H$ su $A$.
Prima di tutto ti ringrazio per avermi risposta e scusa se replico solo adesso 
Ti chiedo solo un ultimo controllo, anche perchè in questo momento non ho con chi ragionare e avere qualcuno che mi ascolta (e mi capisce) è un aiuto non da poco <3
Quindi ho scoperto che $bar(psi)$ una $Zp$ rappresentazione di G/A, per cui $bar(psi)$ determina su A una struttura di $Zp[G/A]$-modulo; allora siccome sono nelle ipotesi del teorema di maschke ho che A è completamente riducibile e cioè si decompone nella somma diretta di sottogruppi semplici $Zp[G/A]$invarianti. Ciò significa che se considero H un sottogruppo di A, ho che: $H bar(psi) (gA)=H $ $AA gA in G/A$, ma per come è stata definite $bar(psi)$ ho che $H bar(psi) (gA)=H(psi) (g)$ e cioè H è un sottogruppo G-invariante, ma $psi(g)$ agisce per coniugazione in G... e qui mi perdo! possibile che $H psi(g)=A$?
... una volta risolto questo ho finito, perchè trovo che i sottogruppi G/A invarianti altro non sono che i sottogruppi di A che sono normali in G, in più sono semplici per Maschke, ovvero sono mìnimali e quindi l' asserto
Aspetto una gentile risposta (ma anche se non è gentile va bene lo stesso
)
<3 Un abbraccio
Ti chiedo solo un ultimo controllo, anche perchè in questo momento non ho con chi ragionare e avere qualcuno che mi ascolta (e mi capisce) è un aiuto non da poco <3
Quindi ho scoperto che $bar(psi)$ una $Zp$ rappresentazione di G/A, per cui $bar(psi)$ determina su A una struttura di $Zp[G/A]$-modulo; allora siccome sono nelle ipotesi del teorema di maschke ho che A è completamente riducibile e cioè si decompone nella somma diretta di sottogruppi semplici $Zp[G/A]$invarianti. Ciò significa che se considero H un sottogruppo di A, ho che: $H bar(psi) (gA)=H $ $AA gA in G/A$, ma per come è stata definite $bar(psi)$ ho che $H bar(psi) (gA)=H(psi) (g)$ e cioè H è un sottogruppo G-invariante, ma $psi(g)$ agisce per coniugazione in G... e qui mi perdo! possibile che $H psi(g)=A$?
... una volta risolto questo ho finito, perchè trovo che i sottogruppi G/A invarianti altro non sono che i sottogruppi di A che sono normali in G, in più sono semplici per Maschke, ovvero sono mìnimali e quindi l' assertoAspetto una gentile risposta (ma anche se non è gentile va bene lo stesso
)<3 Un abbraccio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo