Applicazione dei teoremi di Sylow

[Lorin1]

Ieri mi sono imbattuto in questa discussione http://www.matematicamente.it/forum/esercizio-gruppo-ordine-100-t55775.html nella quale si discuteva del fatto di come contare gli elementi di un certo periodo in un gruppo finito. Sono stato colpito dall'utilizzo della funzione di eulero per rispondere al precedente quesito e, proprio oggi, mentre facevo un esercizio riguardante i teoremi di Sylow tra le domande c'era: quanti elementi di ordine 15 ci sono in un gruppo di ordine 30?

Ora mi sarebbe davvero di aiuto che qualcuno mi spiegasse in generale l'utilizzo della funzione di eulero, perchè immagino ci siano delle limitazioni, per poi poterla in futuro applicare, in quanto il docente del corso di algebra non ce l'ha fatto presente. Grazie

[mtr2]

In questo contesto la funzione di Eulero non serve che ad una cosa: dato un elemento [tex]x\in G[/tex], uno va a considerare il gruppo generato da [tex]x[/tex], [tex]\langle x\rangle[/tex]. Sia [tex]k[/tex] l'ordine di [tex]x[/tex], allora [tex]\phi(x)[/tex] indica (quasi per definizione) il numero di elementi in [tex]\langle x\rangle[/tex] che hanno ordine [tex]k[/tex], [tex]x[/tex] compreso.

Il ragionamento proposto nella soluzione dell'esercizio consiste nell'enumerare i possibili sottogruppi che possono capitare e vedere quanti sottogruppi ciclici compaiono.

In maniera più profonda, la funzione di Eulero dà il gruppo di automorfismi di un dato gruppo ciclico: [tex]\mathrm{Aut}(C_k)=U(\phi(k))[/tex], e la dimostrazione di questo fatto è la semplice osservazione che un automorfismo deve portare un generatore in un altro generatore. Questo risulta molto utile quando si vuole comprendere bene la struttura di un gruppo finito: il teorema N/C afferma che dato un sottogruppo H di un dato gruppo G, il quoziente [tex]N_G(H)/C_G(H)[/tex] è isomorfo ad un sottogruppo di [tex]\mathrm{Aut}(H)[/tex]. Questo risultato si applica facilmente ai sottogruppi ciclici per il fatto che il gruppo di automorfismi si conosce.

Chiaro?

[Lorin1]

Si...ma nell'ambito dei teoremi di Sylow, quindi del problema che sopra ho esposto devo verificare qualche condizione che riguarda il sottogruppo (che contiene gli elementi di periodo $k$) prima di applicare la funzione $\phi$? Oppure posso applicarla in generale....

[mtr2]

Il teorema di Sylow ti garantisce l'esistenza di gruppi ciclici (o in generale abeliani): se nella fattorizzazione dell'ordine compare un primo con potenza semplice o quadrata ([tex]p,p^2[/tex], automaticamente sai dire che tale p-Sylow è della forma [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] nel primo caso oppure [tex]\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] nel secondo. In tali sottogruppi non hai alcun problema a contare gli ordini degli elementi.

Per casi più generali entrano in gioco sottigliezze, ma la morale dell'utilizzo del teorema di Sylow è quella di dare una enumerazione ristretta di possibilità di posizione e quantità di sottogruppi