Applicazione con relazione di equivalenza
Salve ragazzi allora vi espongo il mio problema..
devo studiare un teorema che dice che:
sia S-->T un applicazione
è possibile definire una relazione di equivalenza su S tale che
per ogni x,y appartenente ad S f(x)=f(y)
e finqui ok infatti tale relazione è di equivalenza..
ma poi sempre nel teorema viene detto che la classe di equivalenza di x è uguale all'antimmagine del singleton di f(x) meglio:
[x]_R={f^-1({f(x)}) ma cosa vuol dire??
grazie
devo studiare un teorema che dice che:
sia S-->T un applicazione
è possibile definire una relazione di equivalenza su S tale che
per ogni x,y appartenente ad S f(x)=f(y)
e finqui ok infatti tale relazione è di equivalenza..
ma poi sempre nel teorema viene detto che la classe di equivalenza di x è uguale all'antimmagine del singleton di f(x) meglio:
[x]_R={f^-1({f(x)}) ma cosa vuol dire??
grazie
Risposte
ah comunque il suddetto teorema dovrebbe chiamarsi:
Teorema di omomorfismo su un insieme.
Teorema di omomorfismo su un insieme.
$f^{-1}(f(x))$ è il sottoinsieme di $S$ contenente tutti gli $y$ tali che $f(y)=f(x)$.
quindi è l'insieme che contine tutti gli $y$ equivalenti ad $x$,cioè la classe di equivalenza di $x$.
chiaro?
quindi è l'insieme che contine tutti gli $y$ equivalenti ad $x$,cioè la classe di equivalenza di $x$.
chiaro?
si ma perchè parla di singleton??
se contiene piu di un elemento??
se contiene piu di un elemento??
dopo avermi risposto alla domanda di sopra.. se per cortesia potresti dirmi anche perchè il teorema definisce poi l'insieme quoziente di tale relazione(sopra) come un applicazione iniettiva.. questo proprio non lo capisco..
classe di equivalenza di x appartenente all'insieme_quoziente_di_S------->f(x) appartenente a T
(in questo caso considera quest applicazione).
classe di equivalenza di x appartenente all'insieme_quoziente_di_S------->f(x) appartenente a T
(in questo caso considera quest applicazione).
è la preimmagine di un singleton; il singleton è ${f(x)}$, sottoinsieme di $T$; la preimmagine ${f^{-1}({f(x)})$ invece è un'insieme di $S$ che nn è detto abbia solo un'elemento.
per l'altra domanda,riformulala; non si capisce nulla.
per l'altra domanda,riformulala; non si capisce nulla.
Il teorema d'omomorfismo per insiemi mi risulta essere leggermente diverso. Io lo conosco così:
Sia data un'applicazione [tex]f:S\longrightarrow T[/tex] fra insiemi tale che [tex]\sim[/tex] sia l'equivalenza associata alla funzione [tex]f[/tex] (ossia definita come [tex]\forall x,y\in A\;\; x\sim y \iff f(x)=f(y)[/tex]); sia inoltre [tex]\pi : S \longrightarrow S/\sim[/tex] la proiezione canonica. Allora esiste un'unica funzione [tex]\sigma : S/\sim \longrightarrow T[/tex] iniettiva con [tex]f=\sigma \circ \pi[/tex] e tale che [tex]\mathrm{Im}(\sigma)=\mathrm{Im}(f)[/tex]
Sia data un'applicazione [tex]f:S\longrightarrow T[/tex] fra insiemi tale che [tex]\sim[/tex] sia l'equivalenza associata alla funzione [tex]f[/tex] (ossia definita come [tex]\forall x,y\in A\;\; x\sim y \iff f(x)=f(y)[/tex]); sia inoltre [tex]\pi : S \longrightarrow S/\sim[/tex] la proiezione canonica. Allora esiste un'unica funzione [tex]\sigma : S/\sim \longrightarrow T[/tex] iniettiva con [tex]f=\sigma \circ \pi[/tex] e tale che [tex]\mathrm{Im}(\sigma)=\mathrm{Im}(f)[/tex]
Ma non era il teorema di isomorfismo di cui chiedevo nell'altra discussione?
Stessa cosa, solo un po' più generale.
Ok 
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