Applicazione con relazione di equivalenza

Leonardo202
Salve ragazzi allora vi espongo il mio problema..
devo studiare un teorema che dice che:
sia S-->T un applicazione
è possibile definire una relazione di equivalenza su S tale che
per ogni x,y appartenente ad S f(x)=f(y)
e finqui ok infatti tale relazione è di equivalenza..
ma poi sempre nel teorema viene detto che la classe di equivalenza di x è uguale all'antimmagine del singleton di f(x) meglio:
[x]_R={f^-1({f(x)}) ma cosa vuol dire??
grazie

Risposte
Leonardo202
ah comunque il suddetto teorema dovrebbe chiamarsi:
Teorema di omomorfismo su un insieme.

paolo.papadia
$f^{-1}(f(x))$ è il sottoinsieme di $S$ contenente tutti gli $y$ tali che $f(y)=f(x)$.
quindi è l'insieme che contine tutti gli $y$ equivalenti ad $x$,cioè la classe di equivalenza di $x$.
chiaro?

Leonardo202
si ma perchè parla di singleton??
se contiene piu di un elemento??

Leonardo202
dopo avermi risposto alla domanda di sopra.. se per cortesia potresti dirmi anche perchè il teorema definisce poi l'insieme quoziente di tale relazione(sopra) come un applicazione iniettiva.. questo proprio non lo capisco..
classe di equivalenza di x appartenente all'insieme_quoziente_di_S------->f(x) appartenente a T
(in questo caso considera quest applicazione).

paolo.papadia
è la preimmagine di un singleton; il singleton è ${f(x)}$, sottoinsieme di $T$; la preimmagine ${f^{-1}({f(x)})$ invece è un'insieme di $S$ che nn è detto abbia solo un'elemento.

per l'altra domanda,riformulala; non si capisce nulla.

Richard_Dedekind
Il teorema d'omomorfismo per insiemi mi risulta essere leggermente diverso. Io lo conosco così:

Sia data un'applicazione [tex]f:S\longrightarrow T[/tex] fra insiemi tale che [tex]\sim[/tex] sia l'equivalenza associata alla funzione [tex]f[/tex] (ossia definita come [tex]\forall x,y\in A\;\; x\sim y \iff f(x)=f(y)[/tex]); sia inoltre [tex]\pi : S \longrightarrow S/\sim[/tex] la proiezione canonica. Allora esiste un'unica funzione [tex]\sigma : S/\sim \longrightarrow T[/tex] iniettiva con [tex]f=\sigma \circ \pi[/tex] e tale che [tex]\mathrm{Im}(\sigma)=\mathrm{Im}(f)[/tex]

gundamrx91-votailprof
Ma non era il teorema di isomorfismo di cui chiedevo nell'altra discussione?

Richard_Dedekind
Stessa cosa, solo un po' più generale.

gundamrx91-votailprof
Ok :-)

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