Applicazione biettiva e sua inversa.
[edit pardon nella traccia gl'ultimi due punti sono uguali. Errore mio di modifica all'immagine]
iniettiva ?
$ f(x_1) = f(x_2) => (2 * x_1 - 3)/5 = (2 * x_2 - 3)/5$ moltiplico entrambi i membri $ * 5$ ed elimino la frazione.
Quindi : $ 2 * x_1 -3 = 2 * x_2 -3$ a questo punto risulta che $x_1 = x_2$ (anche se non saprei dirlo in maniera formale perchè. Cioè moltiplico e sottraggo per costanti.
risulta Iniettiva.
suriettiva ?
$ t in Q, EE x in Z : f(x) = t => t =f(x) => t = (2*x-3)/5 => 5t = (2*x-3) => $
$2*x = 5t +3 => x = (5t+3)/2$
risulta suriettiva.
Giusto ?!?
Andiamo a fare $f^(-1)(x)$
$f^(-1) :=> Q -> Z$
$ q -> (5q+3)/2 $
Giusto ??
Se è giusto e non faccio errori, l'immagine di $f^(-1)$ dovrebbe essere l'elemento che sta in $Z$. La controimmagine
è la funzione che ci riporta al dominio di $f^(-1)$ quindi dovrebbe essere in $Q$ ?
Giusto ? O sto sbagliando qualcosa?
a questo punto la traccia dice di calcolare $f^(-1){0,1} $:
$f^(-1){0} = (5*0+3)/2 = 3/2 $
$f^(-1){1} = (5*1+3)/2 = 4$
Scusate se posto sti esercizi che per voi magari saranno banali ma io ho le mie difficoltà.
Vi chiedo di correggermi se ho sbaglio qualcosa.
NB: prima di postare sono rimasto bloccato su $f^(-1){0} $ in quanto la parola controimmagine mi ha deviato ,
io pensavo all'immagine di $f^(-1){0} $ che termina in $Z$ e $3/2$ non appartiene a $Z$.
Spero che è tutto corretto ma ho postato così ho una vostra supervisione
Grazie per la pazienza e il tempo che dedicate nel leggere e eventualmente correggere. Grazie ragazzi
Risposte
La funzione è iniettiva e lo hai dimostrato correttamente.
La funzione non è però suriettiva: fissato un $t\in\QQ$ non sempre esiste un $x\in\ZZ$ tale che $(2x-3)/5=t$, nota che non è detto che $(5t+3)/2$ stia in $\ZZ$.
La controimmagine di un sottoinsieme $C$ del codominio e l'insieme di tutti i punti del dominio che vengono mappati dentro $C$. Si evita di usare il termine "inversa" perché il concetto di controimmagine si applica anche a funzioni non invertibili (come la tua). Chiarisco con un esempio: la funzione $f(x)=x^2$, considerata da $\RR$ in $\RR$, non è invertibile. La controimmagine dell'insieme ${1}$ è $f^{-1}({1})={-1,+1}$ perché sia $-1$ sia $1$ vengono mappati, tramite $f$, in $1$. Altri esempi per chiarire (considerando sempre la stessa funzione): $f^{-1}({0})={0}$; $f^{-1}({-1})=\emptyset$; $f^{-1}({0,1,2})={-\sqrt 2,-1,0,1,\sqrt 2}$.
Detto ciò, chi è $f^{-1}({0,1})$ nel tuo caso?
La funzione non è però suriettiva: fissato un $t\in\QQ$ non sempre esiste un $x\in\ZZ$ tale che $(2x-3)/5=t$, nota che non è detto che $(5t+3)/2$ stia in $\ZZ$.
La controimmagine di un sottoinsieme $C$ del codominio e l'insieme di tutti i punti del dominio che vengono mappati dentro $C$. Si evita di usare il termine "inversa" perché il concetto di controimmagine si applica anche a funzioni non invertibili (come la tua). Chiarisco con un esempio: la funzione $f(x)=x^2$, considerata da $\RR$ in $\RR$, non è invertibile. La controimmagine dell'insieme ${1}$ è $f^{-1}({1})={-1,+1}$ perché sia $-1$ sia $1$ vengono mappati, tramite $f$, in $1$. Altri esempi per chiarire (considerando sempre la stessa funzione): $f^{-1}({0})={0}$; $f^{-1}({-1})=\emptyset$; $f^{-1}({0,1,2})={-\sqrt 2,-1,0,1,\sqrt 2}$.
Detto ciò, chi è $f^{-1}({0,1})$ nel tuo caso?
uhm se non erro è
$ f^-1(0) = 3/2; f^-1(1) = 4 $
speriamo di non aver sbagliato
$ f^-1(0) = 3/2; f^-1(1) = 4 $
speriamo di non aver sbagliato
La scrittura è un po' imprecisa perché $f^{-1}$ non esiste.
Ciò che intendi comunque lo capisco ed è corretto.
Dato che $3/2\notin\ZZ$ e $4\in\ZZ$ concludi che $f^{-1}({0,1})={4}$.
Ciò che intendi comunque lo capisco ed è corretto.
Dato che $3/2\notin\ZZ$ e $4\in\ZZ$ concludi che $f^{-1}({0,1})={4}$.
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