Applicazione ben definita, dubbi.

[Kashaman]

Ho questo esercizio :

Siano n ed m interi maggiori di uno. Data una coppia $(a,b) in ZxZ $ si consideri l'applicazione $f : Zn x Zm ->Znm$
def da $f_a,b$$( [x]_m , [y]_n) = [ax+by+1]_m*n$ .
Mi si chiede di verificare per quali $(a,b) in ZxZ $ l'applicazione risulta essere ben definita.

Sto incontrando serie difficoltà nella risoluzione di questo problema.
Ho pensato di considerare due casi. 1) n ed m coprimi
2) n ed m non coprimi.
Ho ragionato cosi :
nel primo caso ho pensato che se n ed m sono coprimi allora vale l'isomorfismo tra $Z_n X Z_m$ e $Z_nm$. Quindi posso considerare l'applicazione
$f : Znm ->ZnXZm$
def da $( [x]_m , [y]_n) = $$f_a,b([ax+by+1]_m*n)$ . E dire che se x, y,z,k sono elementi di Z tali che
$[ax+by+1]_m*n = [az+bk+1]_m*n$ allora $mn | a(x-z)+b(y-k)$ e quindi si ha che (poiché n m coprimi)
$m | a(x-z)+b(y-k)$ oppure $n | a(x-z)+b(y-k)$. E dunque se n e m dividono una somma si ha che in entrambi i casi m divide a e b , e n divide a e b. E dunque per essere ben definita deve risultare che a e b siano multipli di m oppure di n.
L'altro caso non ho idee.
Anche se ho seri dubbi sulla risoluzione del primo.

Vi ringrazio per chi voglia rispondere, spero che mi possiate illuminare .
Cordiali saluti.

[perplesso1]

Devi verificare che se $x_1 = x_2$ (mod $m$) e $y_1 = y_2$ (mod $n$) allora $(ax_1+by_1+1) = (ax_2+by_2+1)$ (mod $mn$)

Da $x_1 = x_2$ (mod $m$) segue $x_1-x_2=mk$ e analogamente da $y_1 = y_2$ (mod $n$) segue $y_1 - y_2 = nh$. Ricordiamoci queste uguaglianze. Da $(ax_1+by_1+1) = (ax_2+by_2+1)$ (mod $mn$) segue che $mn$ divide $a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2) = amk+bnh$ per ogni $h,k \in Z$. Se scegliamo $k=1$ e $h=0$ otteniamo che $mn$ divide $am$ e quindi $n$ divide $a$. Se scegliamo $k=0$ e $h=1$ allora $mn$ divide $bn$ cioè $m$ divide $b$. In conclusione $a=0$ (mod $n$) e $b=0$ (mod $m$) sono le condizioni cercate.

Se c'è qualcosa che non quadra fammelo notare, ciao.

[Kashaman]

Vediamo se ho capito.
Allora il meccanismo è quello di far vedere che da elementi uguali, si hanno immagini uguali . Cioè che l'immagine dell'applicazione non dipende dalla scelta degli elementi dell'insieme di partenza, giusto?
Allora se ho che $[x_1]_m=[x_2]_m$ allora $m| X_1-x_2$ e che quindi $x_1-x_2= mh$ per un certo $h in ZZ$ (1)
e che se ho che $[y_1]_m=[y_2]_m$ allora $m| y_1-y_2$ e che quindi $x_1-x_2= mk$ per un certo $k in ZZ$ (2)
Ora vedo quando $[ax_1+by_1+1]_(m*n)=[ax_2+by_2+1]_(m*n)$ (3)
Dalla (3) si ha che $(m*n)| a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)$ e che dunque dalla 1 e dalla 2 ho che $(m*n)| amh+bmk$ (4)
Ora dato l'arbitrarietà di k, h. Dalla (4)
Se scegliamo $k=1 , h = 0$ otteniamo che $(m*n)| bm => n|b$.
Se scegliamo $k=0 , h=1$ otteniamo che $(m*n)| an => m|a$.
Dunque , Conclusione
f è ben definita $<=>$ $a=0(mod m) $ e $b=0(mod n)$

Dico bene?
Comunque grazie per il tuo aiuto perplesso . Sei stato molto illuminante, alla fine era meno complesso di ciò che pensavo..

[perplesso1]

"Kashaman":Vediamo se ho capito.
Allora il meccanismo è quello di far vedere che da elementi uguali, si hanno immagini uguali . Cioè che l'immagine dell'applicazione non dipende dalla scelta degli elementi dell'insieme di partenza, giusto?

Detto un pò meglio "le immagini di elementi congruenti devono essere congruenti ", altrimenti verrebbe meno l'univocità dell'applicazione (allo stesso elemento potrebbero corrispondere più elementi)

Allora se ho che $[x_1]_m=[x_2]_m$ allora $m| X_1-x_2$ e che quindi $x_1-x_2= mh$ per un certo $h in ZZ$

Ok

e che se ho che $[y_1]_m=[y_2]_m$ allora $m| y_1-y_2$ e che quindi $x_1-x_2= mk$ per un certo $k in ZZ$

Hai scritto $m$ invece di $n$ E poi volevi dire $y_1-y_2=nk$ al posto di $x_1-x_2= mk$ ??

Ora vedo quando $[ax_1+by_1+1]_(m*n)=[ax_2+by_2+1]_(m*n)$

Ok

Dalla (3) si ha che $(m*n)| a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)$ e che dunque dalla 1 e dalla 2 ho che $(m*n)| amh+bmk$

Continui a sbagliare le sostituzioni, correggo $(m*n)| amh+bnk$

Ora dato l'arbitrarietà di k, h. Dalla (4)
Se scegliamo $k=1 , h = 0$ otteniamo che $(m*n)| bm => n|b$.

Se scegliamo $k=1 , h = 0$ otteniamo che $(m*n)| bn => m|b$.

Se scegliamo $k=0 , h=1$ otteniamo che $(m*n)| an => m|a$.

Se scegliamo $k=0 , h=1$ otteniamo che $(m*n)| am => n|a$

Dunque , Conclusione
f è ben definita $<=>$ $a=0(mod m) $ e $b=0(mod n)$

Il contrario $f$ è ben definita $<=>$ $a=0(mod n) $ e $b=0(mod m)$

Dico bene?

No, sei un pasticcione

Comunque grazie per il tuo aiuto perplesso . Sei stato molto illuminante, alla fine era meno complesso di ciò che pensavo..

Prego

[Kashaman]

Minchia, non c'avevo fatto caso che avevo sbagliato . Vabbé l'importante è essersi capiti