Apllicazione suriettiva se e solo se è cancellabile a destra
Salve 
Potete, per favore, postare una dimostrazione su questo teorema : una applicazione è suriettiva se e solo se è cancellabile a destra. Non riesco a trovarla da nessuna parte.. Grazie in anticipo
Potete, per favore, postare una dimostrazione su questo teorema : una applicazione è suriettiva se e solo se è cancellabile a destra. Non riesco a trovarla da nessuna parte.. Grazie in anticipo
Risposte
Invece di chiedere potresti provare a dimostrarlo. Hai fatto dei tentativi? Prova a prendere due funzioni $g_1$ e $g_2$ che siano distinte al di fuori dell'immagine di una funzione $f$ non suriettiva ma coincidano nell'immagine e comporle a destra con $f$. Per il senso opposto prova a supporre che f sia suriettiva e $g_1$ e $g_2$ distinte ma tali che $g_1 \circ f = g_2 \circ f$. A questo punto considera un elemento in cui $g_1$ e $g_2$ sono diverse.
Ho gia provato ma sono arrivata ad un punto in cui non trovo proprio il senso ... l'ho fatta esattamente così con le due funzioni ma arrivo ad un certo punto che non capisco come può essere suriettiva .. trovo tipo delle incongruenze forse sbaglio qualcosa, per questo ne volevo vedere una già fatta ... non mi sarei mai permessa di chiedere su internet prima di provare e dato che siamo ad agosto non trovo nessuno in città disponibile ad aiutarmi
Supponi che \(\displaystyle f\colon \Sigma \to \Omega \) non sia suriettiva, allora esiste un \(\displaystyle \omega\in \Omega \) tale che \(\displaystyle \nexists \sigma\in\Sigma \) tale che \(\displaystyle f\sigma = \omega \).
Sia quindi \(\displaystyle g\colon \Omega \to \Delta \) dove \(\displaystyle \lvert\Delta\rvert > 1\). Supponiamo si abbia \(\displaystyle g\omega = \delta \) e sia \(\displaystyle \delta' \neq \delta \).
Sia dunque \(\displaystyle g'\omega' = \begin{cases} \delta' & \text{ se } \omega' = \omega \\ g\omega' & \text{ altrimenti } \end{cases} \)
Si ricava banalmente che \(\displaystyle g\circ f = g'\circ f \), ma \(\displaystyle g\neq g' \). Perciò una funzione non suriettiva non può essere cancellabile a destra.
Dimostriamo allora che se \(\displaystyle f\colon \Sigma \to \Omega \) è suriettiva allora è cancellabile a destra. Siano \(\displaystyle g_1 \) e \(\displaystyle g_2 \) due funzioni da \(\displaystyle \Omega \) a un insieme \(\displaystyle \Delta \) tali che \(\displaystyle g_1\circ f = g_2\circ f \). Dimostriamo che si ha \(\displaystyle g_1 = g_2 \).
Consideriamo un \(\displaystyle \omega\in \Omega \) arbitrario. Siccome \(\displaystyle f \) è suriettiva, allora esiste un \(\displaystyle \sigma\in\Sigma \) tale che \(\displaystyle f\omega = \sigma \). Ma allora \(\displaystyle g_1\omega = g_1\circ f\sigma = g_2\circ f\sigma = g_2\omega \). Per l'arbitrarietà della scelta di \(\displaystyle \omega \) le due funzioni devono quindi coincidere.
Sia quindi \(\displaystyle g\colon \Omega \to \Delta \) dove \(\displaystyle \lvert\Delta\rvert > 1\). Supponiamo si abbia \(\displaystyle g\omega = \delta \) e sia \(\displaystyle \delta' \neq \delta \).
Sia dunque \(\displaystyle g'\omega' = \begin{cases} \delta' & \text{ se } \omega' = \omega \\ g\omega' & \text{ altrimenti } \end{cases} \)
Si ricava banalmente che \(\displaystyle g\circ f = g'\circ f \), ma \(\displaystyle g\neq g' \). Perciò una funzione non suriettiva non può essere cancellabile a destra.
Dimostriamo allora che se \(\displaystyle f\colon \Sigma \to \Omega \) è suriettiva allora è cancellabile a destra. Siano \(\displaystyle g_1 \) e \(\displaystyle g_2 \) due funzioni da \(\displaystyle \Omega \) a un insieme \(\displaystyle \Delta \) tali che \(\displaystyle g_1\circ f = g_2\circ f \). Dimostriamo che si ha \(\displaystyle g_1 = g_2 \).
Consideriamo un \(\displaystyle \omega\in \Omega \) arbitrario. Siccome \(\displaystyle f \) è suriettiva, allora esiste un \(\displaystyle \sigma\in\Sigma \) tale che \(\displaystyle f\omega = \sigma \). Ma allora \(\displaystyle g_1\omega = g_1\circ f\sigma = g_2\circ f\sigma = g_2\omega \). Per l'arbitrarietà della scelta di \(\displaystyle \omega \) le due funzioni devono quindi coincidere.
Grazie mille =) .. ci sono quasi ..un'altra domanda: verso la fine c'è scritto fw=sigma, mi sembra che è il contrario forse è un errore di battitura .. E poi la frase finale non mi è ben chiara ... dobbiamo dimostrare che g1 = g2, abbiamo detto che per l'arbitrarietà di w coincidono e perchè allora è assurdo?? .. grazie ancora
Ok, \(f\sigma = \omega\). Relativamente all'ultima frase ignorala: prima avevo scritto il tutto relativamente ad una dimostrazione per assurdo. Poi ho riscritto e dimenticato di cancellare. Ora correggo.
ok perfetto ci sono allora ... Grazie mille =)
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