Anello semplice, ideali e unità dell'anello
Salve a tutti!!!
Allora ho l'anello $R=M_n(D)$ (l'anello delle matrici d'ordine $n$ a coefficienti nel corpo $D$) e voglio dimostrare che esso è semplice, cioè che non possiede ideali diversi da $(0)$ e $R$ (questa è la definizione a cui debbo fare riferimento).
L'idea della dimostrazione è quella di prendere un ideale bilatero $U$ di $R$, $U \ne (0)$ e provare che $U=R$.
Quello che si fa vedere è che l'unità di $R$, cioè la matrice identica $I_n$ d'ordine $n$, appartiene ad $U$. Da questo si conclude che $U=R$.
Mi sfugge la motivazione di questo passaggio. Cioè, perché se un ideale di $R$ contiene l'unità di $R$, allora coincide con l'anello stesso???
Allora ho l'anello $R=M_n(D)$ (l'anello delle matrici d'ordine $n$ a coefficienti nel corpo $D$) e voglio dimostrare che esso è semplice, cioè che non possiede ideali diversi da $(0)$ e $R$ (questa è la definizione a cui debbo fare riferimento).
L'idea della dimostrazione è quella di prendere un ideale bilatero $U$ di $R$, $U \ne (0)$ e provare che $U=R$.
Quello che si fa vedere è che l'unità di $R$, cioè la matrice identica $I_n$ d'ordine $n$, appartiene ad $U$. Da questo si conclude che $U=R$.
Mi sfugge la motivazione di questo passaggio. Cioè, perché se un ideale di $R$ contiene l'unità di $R$, allora coincide con l'anello stesso???
Risposte
Per definizione di ideale hai che $AA A in R$, $AA B in U$ si ha $B*A in U$.
Ora, se $I_n in U$ allora $AA A in R$ si ha $I_n * A in U$, cioè $AA A in R$ vale $A in U$.
Questo significa che $U=R$
Ora, se $I_n in U$ allora $AA A in R$ si ha $I_n * A in U$, cioè $AA A in R$ vale $A in U$.
Questo significa che $U=R$
Ok, grazie mille! 
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