Anello quoziente su $ZZ[X]$ isomorfo a $ZZ_(/2)$
Determinare, se possibile, un ideale $I$ di $ZZ[X]$ tale che $ZZ[X]_(/I)$ è isomorfo a $ZZ_(/2)$.
Allora io pensavo appunto di sfruttare il primo teorema fondamentale dell'omomorfismo per anelli dove se mostro che esiste un omomorfismo non nullo $\varphi:ZZ[X]->ZZ_(/2)$ allora l'ideale che cerco corrisponde proprio con $Ker\varphi$, il problema ho provato più volte a costruire un tale omomorfismo ma non ne sono ancora riuscito a trovare nessuno. Avevo pensato anche al fatto che l'isomorfismo tra $ZZ[X]_(/I)$ e $ZZ_(/2)$ non potesse esistere poichè sono definiti su due campi diversi se li vedo come spazi vettoriali ($ZZ[X]_(/I)$ definito su $ZZ$ e $ZZ_(/2)$ su se stesso) però non sono sicuro di questo.
Allora io pensavo appunto di sfruttare il primo teorema fondamentale dell'omomorfismo per anelli dove se mostro che esiste un omomorfismo non nullo $\varphi:ZZ[X]->ZZ_(/2)$ allora l'ideale che cerco corrisponde proprio con $Ker\varphi$, il problema ho provato più volte a costruire un tale omomorfismo ma non ne sono ancora riuscito a trovare nessuno. Avevo pensato anche al fatto che l'isomorfismo tra $ZZ[X]_(/I)$ e $ZZ_(/2)$ non potesse esistere poichè sono definiti su due campi diversi se li vedo come spazi vettoriali ($ZZ[X]_(/I)$ definito su $ZZ$ e $ZZ_(/2)$ su se stesso) però non sono sicuro di questo.
Risposte
Se al posto di $ZZ_(/2)$ ci fosse stato $ZZ$?
"otta96":
Se al posto di $ZZ_(/2)$ ci fosse stato $ZZ$?
Ah be in questo caso avevo infinite scelte, per esempio $ZZ[X]_(/(x))$.
E poi da $ZZ$ a $ZZ_(/2)$?
"otta96":
E poi da $ZZ$ a $ZZ_(/2)$?
Un omomorfismo suriettivo fra i due sicuro è mandare i pari in classe di 0, e i dispari in classe di 1, ma di isomorfismo non me ne vengono, anche perchè dovrei mandare tutti gli interi non nulli in classe di 1 ma allora non sarebbe un omomorfismo.
Ma infatti non devi trovare un isomorfismo, ma un omomorfismo, e l'hai trovato. Ora non ti rimane che comporre le due proiezioni.
"otta96":
Ma infatti non devi trovare un isomorfismo, ma un omomorfismo, e l'hai trovato. Ora non ti rimane che comporre le due proiezioni.
A tu dici l omomorfismo fra $ZZ[X]$ e $ZZ_(/2)$? Se è cosi in teoria se prendo per esempio l'omomorfismo tale che il nucleo è l'ideale $(x,2)$ (l'ideale generato da $x$ e $2$) per quanto detto prima dovrebbe andare bene no?
Si in pratica l'omomorfismo manda un polinomio nella classe di parità del termine noto.
"otta96":
Si in pratica l'omomorfismo manda un polinomio nella classe di parità del termine noto.
grazie, mi era venuto in mente che fosse quello l ideale già da prima che mettessi la domanda ma non so perchè non mi convinceva ahahah
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo