Anello quoziente dei polinomi
Ciao a tutti,
sto seguendo un corso di algebra sulla Teoria di Galois e non riesco a venire a capo di una questione, come dispensa usiamo Fields and Galois Theory di J.S. Milne, liberamente consultabile qui: http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf
Ho dei problemi a pagina 15, nel paragrafo "Construction of some extension fields", l'obiettivo di quel paragrafo viene riassunto alla fine dello stesso e consiste nel mostrare che, dato F campo, per ogni polinomio monico irriducibile $f(X)$ di grado $m$ su $F[X]$ si ha che $F[x] := \frac{F[X]}{(f(X))$ è un campo di grado $m$ su $F$ [nota]Notare che $X \ne x$, non ho trovato particolarmente gradevole questa scelta[/nota]
Nel paragrafo viene detto semplicemente di scrivere $x$ al posto del laterale $X + (f(X))$ [nota]Che poi cosa significa scrivere qualcosa al posto di qualcos'altro formalmente?[/nota] e questo credo di averlo digerito, quello che invece non ho digerito è perché usi il simbolo $F[x]$ per indicare quell'anello quoziente. Se si tratta di un simbolo scelto arbitrariamente per indicare quell'anello quoziente ok, ma io ho il sospetto che usi quel simbolo perché in effetti è un anello di polinomi su questa nuova indeterminata $x$, ma se così fosse non dovrei avere $F[x]:=F[X+(f(X))]$? E perché sarebbe vero che $F[X+(f(X))] = \frac{F[X]}{(f(X))}$?
So di avere un po' di confusione in testa, spero che qualcuno riesca a dissolvermelo senza traumi, grazie mille
sto seguendo un corso di algebra sulla Teoria di Galois e non riesco a venire a capo di una questione, come dispensa usiamo Fields and Galois Theory di J.S. Milne, liberamente consultabile qui: http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf
Ho dei problemi a pagina 15, nel paragrafo "Construction of some extension fields", l'obiettivo di quel paragrafo viene riassunto alla fine dello stesso e consiste nel mostrare che, dato F campo, per ogni polinomio monico irriducibile $f(X)$ di grado $m$ su $F[X]$ si ha che $F[x] := \frac{F[X]}{(f(X))$ è un campo di grado $m$ su $F$ [nota]Notare che $X \ne x$, non ho trovato particolarmente gradevole questa scelta[/nota]
Nel paragrafo viene detto semplicemente di scrivere $x$ al posto del laterale $X + (f(X))$ [nota]Che poi cosa significa scrivere qualcosa al posto di qualcos'altro formalmente?[/nota] e questo credo di averlo digerito, quello che invece non ho digerito è perché usi il simbolo $F[x]$ per indicare quell'anello quoziente. Se si tratta di un simbolo scelto arbitrariamente per indicare quell'anello quoziente ok, ma io ho il sospetto che usi quel simbolo perché in effetti è un anello di polinomi su questa nuova indeterminata $x$, ma se così fosse non dovrei avere $F[x]:=F[X+(f(X))]$? E perché sarebbe vero che $F[X+(f(X))] = \frac{F[X]}{(f(X))}$?
So di avere un po' di confusione in testa, spero che qualcuno riesca a dissolvermelo senza traumi, grazie mille
Risposte
No $F[x]$ non è un anello di polinomi, è un'estensione, per esempio se $F=QQ$ e $f(X)=X^2-2$ allora $F[x]$ è (isomorfo a) $QQ[sqrt(2)] = \{a+b sqrt(2)\ :\ a,b in QQ\}$.
Meno male! 
Chiarissimo l'esempio (avevo già svolto un esercizio con gli stessi identici campi), ma allora mi chiedo perché si usa $F[x]$ per indicare un campo (e non un anello come suggerirebbero le quadre) che non è di polinomi (come suggerirebbe la x) e non è nemmeno qualcosa generato da qualcos'altro.
Inoltre, a questo punto ne approfitto della discussione per chiarirmi bene un'altra cosa: cosa si intende per scrivere $x$ al posto del laterale $X+(f(X))$? Significa che oltre alla solita proiezione da $F[X]$ a $\frac{F[X]}{(f(X))}$ ho un omomorfismo da $\frac{F[X]}{(f(X))}$ a non so bene che cosa (forse $F[x]$ come anello dei polinomi questa volta?) che manda il laterale $X+(f(X))$ in $x$?
Forse sto inconsciamente cercando di far entrare nel discorso questo $F[x]$ come anello dei polinomi perché mi ero abituato all'idea che dovesse centrare in qualche modo.
Chiarissimo l'esempio (avevo già svolto un esercizio con gli stessi identici campi), ma allora mi chiedo perché si usa $F[x]$ per indicare un campo (e non un anello come suggerirebbero le quadre) che non è di polinomi (come suggerirebbe la x) e non è nemmeno qualcosa generato da qualcos'altro.
Inoltre, a questo punto ne approfitto della discussione per chiarirmi bene un'altra cosa: cosa si intende per scrivere $x$ al posto del laterale $X+(f(X))$? Significa che oltre alla solita proiezione da $F[X]$ a $\frac{F[X]}{(f(X))}$ ho un omomorfismo da $\frac{F[X]}{(f(X))}$ a non so bene che cosa (forse $F[x]$ come anello dei polinomi questa volta?) che manda il laterale $X+(f(X))$ in $x$?
Forse sto inconsciamente cercando di far entrare nel discorso questo $F[x]$ come anello dei polinomi perché mi ero abituato all'idea che dovesse centrare in qualche modo.
Chiamiamo $A=F[X]//(f(X))$. Chiamiamo $a=X+(f(X)) in A$ (è meglio evitare $x$). Allora $A$ è generato (come anello) da $F$ e da $a$ quindi è convenzione comune indicare $A$ con $F[a]$. Cioè $A=F[a]$ significa che $F$ e $a$ generano $A$ come anello.
Ora ci sono differenze importanti tra $F[X]$ e $F[a]$. Per esempio $F[X]$ come spazio vettoriale su $F$ ha dimensione infinita (una base è $1,X,X^2,X^3,...$) mentre $A$ ha dimensione finita, uguale al grado del polinomio minimo di $a$, e detto $n$ tale grado una base di $F[a]$ è $1,a,a^2,...,a^{n-1}$ (per esempio nell'esempio sopra una base è $1,sqrt(2)$).
Ora ci sono differenze importanti tra $F[X]$ e $F[a]$. Per esempio $F[X]$ come spazio vettoriale su $F$ ha dimensione infinita (una base è $1,X,X^2,X^3,...$) mentre $A$ ha dimensione finita, uguale al grado del polinomio minimo di $a$, e detto $n$ tale grado una base di $F[a]$ è $1,a,a^2,...,a^{n-1}$ (per esempio nell'esempio sopra una base è $1,sqrt(2)$).
"Martino":
Chiamiamo $A=F[X]//(f(X))$. Chiamiamo $a=X+(f(X)) in A$ (è meglio evitare $x$). Allora $A$ è generato (come anello) da $F$ e da $a$ quindi è convenzione comune indicare $A$ con $F[a]$. Cioè $A=F[a]$ significa che $F$ e $a$ generano $A$ come anello.
Ma quindi è solo una convenzione, giusto? $F[a]$ non è davvero l'anello generato da $F$ e da $a$? Anche perché se lo fosse significherebbe che sia il più piccolo anello dentro $E( \supset F)$ contenenente $F$ e ${a}$ ma ciò non avrebbe senso visto che $a$ è un laterale (quindi qualcosa che vive in un anello quoziente).
"killing_buddha":
Se n'è parlato qui.
Grazie mille, adesso me lo leggo per bene
"zariski":Non è solo una convenzione, $F[a]$ è davvero l'anello generato da $F$ e da $a$.
Ma quindi è solo una convenzione, giusto? $F[a]$ non è davvero l'anello generato da $F$ e da $a$?
Sia $A$ un anello (commutativo, unitario) e sia $a in A$. Sia $F$ un sottoanello di $A$. Indichiamo (definizione) con $F[a]$ il sottoanello di $A$ generato da $F$ e da $a$.
Esercizio: $F[a]$ è uguale a $\{P(a)\ :\ P(X) in F[X]\}$. Ovvero gli elementi di $F[a]$ sono quelli della forma $t_0+t_1a+t_2a^2+...t_ma^m$ dove i $t_i$ sono elementi di $F$ e $m$ è un numero naturale.
Adesso mettiamoci nel caso in esame, $A=F[X]//(f(X))$ e $a=X+(f(X)) in A$. Qui identifichiamo $F$ con il sottoinsieme di $A$ dato da $\{t+(f(X))\ :\ t in F\}$. Allora è chiaro che $A=F[a]$, perché ogni elemento di $A$ ha la forma $P(X)+(f(X)) = P(X+(f(X))) = P(a)$. In altre parole nel tuo caso l'anello $A$ (che è un anello quoziente, ma cosa importa?) è il più piccolo anello contenente $F$ e $a$.
Anche perché se lo fosse significherebbe che sia il più piccolo anello dentro $E( \supset F)$ contenenente $F$ e ${a}$ ma ciò non avrebbe senso visto che $a$ è un laterale (quindi qualcosa che vive in un anello quoziente).Certo che ha senso. Hai un elemento di un anello, e puoi domandarti quale anello egli genera. Quell'elemento è una classe laterale ma cosa c'entra? Nel quoziente $F[X]//(f(X))$ puoi sommare e moltiplicare le classi laterali. Dimenticati cosa gli elementi sono e concentrati sulle loro proprietà astratte: sei in un anello (anello quoziente, ma cosa importa?), quindi puoi costruire sottoanelli, sommare e moltiplicare elementi.
Grazie mille della spiegazione, scusa se ci ho messo un po' a rispondere ma purtroppo non ho avuto tempo di riscrivere la risposta (avevo scritto una risposta in cui chiedevo qualcosa e svolgevo l'esercizio che davi ma ho inavvertitamente chiuso la scheda).
Comunque nessun problema, ho rivisto le dispense e ora mi è tutto più chiaro.
Grazie mille ancora!
Comunque nessun problema, ho rivisto le dispense e ora mi è tutto più chiaro.
Grazie mille ancora!
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