Anello quoziente come A-algebra
Non riesco a giustificare un esempio che ho trovato sul mio libro di testo a proposito delle algebre.
Riporto anche la definizione di algebra così come è presentata:
Diciamo che $B$ è una $A$-algebra se $(B, +_B, *_B)$ è un anello, non necessariamente commutativo ma unitario, con un omomorfismo di anelli $f: A \to B$ tale che $f(a) *_B b = b *_B f(a)$ per ogni $a in A$ e $b in B$ se $B$ non è commutativo.
L'esempio che non mi è chiaro è il seguente:
Sia $I sube A$ un ideale, $B= A//I$ l'anello quoziente e sia $\pi: A \to A//I$ la proiezione sul quoziente. Si ha che $A//I$ è una $A$-algebra e $\pi$ è $A$-lineare.
Provando ad applicare la definizione e partendo da $a in A$ e $[x] in A//I$ dovrei verificare che $\pi(a)*[x] = [x]*\pi(a)$ e, per come è definito il prodotto di classi nel quoziente, dovrei riuscire a dimostrare che $[ax]=[xa]$ (supponendo chiaramente che $A$ non sia commutativo) ma non so come, e tra l'altro mi sembra strano perché così sembrerebbe che ogni anello quoziente sia commutativo...
Riporto anche la definizione di algebra così come è presentata:
Diciamo che $B$ è una $A$-algebra se $(B, +_B, *_B)$ è un anello, non necessariamente commutativo ma unitario, con un omomorfismo di anelli $f: A \to B$ tale che $f(a) *_B b = b *_B f(a)$ per ogni $a in A$ e $b in B$ se $B$ non è commutativo.
L'esempio che non mi è chiaro è il seguente:
Sia $I sube A$ un ideale, $B= A//I$ l'anello quoziente e sia $\pi: A \to A//I$ la proiezione sul quoziente. Si ha che $A//I$ è una $A$-algebra e $\pi$ è $A$-lineare.
Provando ad applicare la definizione e partendo da $a in A$ e $[x] in A//I$ dovrei verificare che $\pi(a)*[x] = [x]*\pi(a)$ e, per come è definito il prodotto di classi nel quoziente, dovrei riuscire a dimostrare che $[ax]=[xa]$ (supponendo chiaramente che $A$ non sia commutativo) ma non so come, e tra l'altro mi sembra strano perché così sembrerebbe che ogni anello quoziente sia commutativo...
Risposte
Probabilmente nell'esempio [tex]A[/tex] è commutativo per ipotesi. Prova a controllare.
Mi è venuto il dubbio che fosse così però ho controllato e non è specificato, così come negli esempi precedenti che però funzionano lo stesso... sarà sicuramente così comunque, grazie 
Come si chiama il tuo libro di testo per curiosità?
"Che cos'è un numero", di L. Barbieri Viale
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