Anello quoziente
Ciao a tutti! Avrei bisogno di aiuto con questo esercizio:
Si consideri l’anello quoziente $ F = K[x]$ /$ (f)$ per $K=ZZ$/$3ZZ$ e $f = x^2 + 1 in K[x]$
(a) Si elenchino gli elementi di $F$
(b) Si calcolino i prodotti $ (bar (1) +bar (x))*(bar (2)+bar (x)) $ e $ (bar (1)+bar (x))^2 $
(c) Si determini l’elemento inverso di $ (bar(1)+ bar(2)bar(x)) $
Io non so proprio da dove iniziare
. Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi!
Si consideri l’anello quoziente $ F = K[x]$ /$ (f)$ per $K=ZZ$/$3ZZ$ e $f = x^2 + 1 in K[x]$
(a) Si elenchino gli elementi di $F$
(b) Si calcolino i prodotti $ (bar (1) +bar (x))*(bar (2)+bar (x)) $ e $ (bar (1)+bar (x))^2 $
(c) Si determini l’elemento inverso di $ (bar(1)+ bar(2)bar(x)) $
Io non so proprio da dove iniziare
. Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi!
Risposte
Si tratta di capire per bene cosa si $F$. Abbiamo l'anello dei polinomi a coefficienti in $ZZ_3$ quozientato rispetto ad un polinomio. E' irriducibile?
La richiesta b) è la più semplice, io partirei da quella. Si tratta di fare dei conti e ricordarsi che in un anello quoziente tutto viene identificato con "i resti" della divisione rispetto al polinomio $f$.
Se questo ti è chiaro sarà anche facile risalire alla a) senza scomodare la teoria dei campi e degli spazi vettoriali
Se non sono stato chiaro chiedi pure ovviamente.
La richiesta b) è la più semplice, io partirei da quella. Si tratta di fare dei conti e ricordarsi che in un anello quoziente tutto viene identificato con "i resti" della divisione rispetto al polinomio $f$.
Se questo ti è chiaro sarà anche facile risalire alla a) senza scomodare la teoria dei campi e degli spazi vettoriali
Se non sono stato chiaro chiedi pure ovviamente.
Ok grazie..provo a fare il punto b):
$ (bar (1)+bar (x))*(bar (2)+bar (x))=(bar (2)+bar (x)+bar (2)bar(x)+bar (x)^2) = (bar (2)+ bar (x)+bar (x)^2) $ in $ZZ$/$3ZZ$
$ (bar(1)+bar(x))^2=bar(1)+bar(x)^2+2bar(x)
E' giusto??
$ (bar (1)+bar (x))*(bar (2)+bar (x))=(bar (2)+bar (x)+bar (2)bar(x)+bar (x)^2) = (bar (2)+ bar (x)+bar (x)^2) $ in $ZZ$/$3ZZ$
$ (bar(1)+bar(x))^2=bar(1)+bar(x)^2+2bar(x)
E' giusto??
Ok, hai ridotto i coefficienti in $ZZ_3$ ora però devi considerare il quoziente rispetto a $f$.
Tecnicamente devi dividere per $x^2+1$ e calcolare il resto. Questo sarà l'elemento cercato.
Ti invito però a cercare di capire per bene questa identificazione, il nocciolo è tutto lì!
Tecnicamente devi dividere per $x^2+1$ e calcolare il resto. Questo sarà l'elemento cercato.
Ti invito però a cercare di capire per bene questa identificazione, il nocciolo è tutto lì!
ok..quindi è:
$(bar1 + barx)(bar2+barx)=(bar2+barx+bar2barx+barx^2)=(bar2+barx^2)$, ora faccio diviso $f=x^2+1$ e ottengo resto 1,cioè $bar1$
$(barx+bar1)^2=(barx^2+bar1+2barx)$ e dividendo per $f$ ottengo resto 2x, cioè $2barx$
E' giusto?
$(bar1 + barx)(bar2+barx)=(bar2+barx+bar2barx+barx^2)=(bar2+barx^2)$, ora faccio diviso $f=x^2+1$ e ottengo resto 1,cioè $bar1$
$(barx+bar1)^2=(barx^2+bar1+2barx)$ e dividendo per $f$ ottengo resto 2x, cioè $2barx$
E' giusto?
Esatto...
Ora possiamo passare al punto a)
Ti ho detto che in $ZZ_3[x]//(f)$ ci sono i resti della divisione per $f$ di un polinomio a coefficienti in $ZZ_3$ nella indeterminata $x$. Secondo te quali saranno gli elementi di questo anello?
Piccolo suggerimento:
PS Esiste un modo più generale per calcolare i quanti (e di conseguenza quali) sono gli elementi di questo anello (che in realtà è un campo finito essendo $f$ irriducibile), ma secondo me è meglio se pensi prima nel caso specifico
Ora possiamo passare al punto a)
Ti ho detto che in $ZZ_3[x]//(f)$ ci sono i resti della divisione per $f$ di un polinomio a coefficienti in $ZZ_3$ nella indeterminata $x$. Secondo te quali saranno gli elementi di questo anello?
Piccolo suggerimento:
PS Esiste un modo più generale per calcolare i quanti (e di conseguenza quali) sono gli elementi di questo anello (che in realtà è un campo finito essendo $f$ irriducibile), ma secondo me è meglio se pensi prima nel caso specifico
Riguardando la teoria ho visto che [F] ha grado pari a quello di $f$, che nel mio caso è 2.
Inoltre una base di $F$ è data da $bar1,barx,...,barx^(n-1)$, ovvero $bar1,barx$ poichè n=2.
Quindi
$F={bar0,bar1,bar2,barx,bar2x,bar(1+x),bar(1+2x),bar(2+x),bar(2+2x}$ essondo $ZZ$/$3ZZ ={0,1,2}$
è corretto??
Inoltre una base di $F$ è data da $bar1,barx,...,barx^(n-1)$, ovvero $bar1,barx$ poichè n=2.
Quindi
$F={bar0,bar1,bar2,barx,bar2x,bar(1+x),bar(1+2x),bar(2+x),bar(2+2x}$ essondo $ZZ$/$3ZZ ={0,1,2}$
è corretto??
Ne conto 9 quindi direi che è giusto 
Questo è un campo finito e sappiamo dalla teoria che hanno ordine $p^n$ per ogni primo $p$ ed ogni naturale $n$. Quindi per $p=3$ (pari alla caratteristica del campo) e per $n=2$ pari al grado del polinomio irriducibile.
Ma per questo esercizio non serve scomodorare tanta teoria
Questo è un campo finito e sappiamo dalla teoria che hanno ordine $p^n$ per ogni primo $p$ ed ogni naturale $n$. Quindi per $p=3$ (pari alla caratteristica del campo) e per $n=2$ pari al grado del polinomio irriducibile.
Ma per questo esercizio non serve scomodorare tanta teoria
Grazie per l'aiuto! Qualche suggerimento per il punto c ??
Devi usare sempre l'identità di Bezout solo che devi farlo con i polinomi... però i conti meglio che non li faccia che sono una frana
ok..mi potresti dare almeno l'impostazione?senza fare i calcoli..perchè non capisco come iniziare..
Anzitutto hai verificato che è invertibile? Quando in un quoziente è invertibile?
Detto $g$ il tuo polinomio (supposto invertibile) allora vale l'identità $a(x)f+b(x)g=1$ allora l'inverso sarà $b(x)$ (ovviamente un polinomio!).
Per determinare $a(x),b(x)$ ci sono vari algoritmi, come quello delle divisioni successive di euclide.
Detto $g$ il tuo polinomio (supposto invertibile) allora vale l'identità $a(x)f+b(x)g=1$ allora l'inverso sarà $b(x)$ (ovviamente un polinomio!).
Per determinare $a(x),b(x)$ ci sono vari algoritmi, come quello delle divisioni successive di euclide.
ma f e g chi sono? sono bloccata..
$f$ il tuo polinomio quoziente mentre $g$ il polinomio di cui vuoi calcolare l'inverso.
ok quindi $a(x)(x^2+1) + b(x)(bar1+bar2barx)=1$..io però non so usare l'algoritmo di euclide.. 
ok grazie mille per tutto!!
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